Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu
yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian
matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah
μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
A. Sejarah Matematika
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
A. Sejarah Matematika
Menurut Berggren, JL, 2004,
penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir Kuno, didasarkan pada
banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun
dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka
dianggap mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut. Artefak matematika
yang ditemukan menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak
pengetahuan matematika yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih
primitif dan belum disusun secara deduktif seperti sekarang. Matematika pada
jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak yang ditemukan yang kemudian
disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada 1877), telah
memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang pesat.
Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan
daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia
rezim (2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani
(abad ke 3 - 1 SM).
Pada jaman Yunani kuno paling
tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan Pythagoras. Thales dan
Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah
yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa
pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya
monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur)
yang merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi. Risalah
penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada
pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika
Islam awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah
dokumen yang relatif sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk
menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika
di Eropa selanjutnya. Tetapi yang jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup
besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran modern yang muncul himpunanelah
jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15 himpunanelah masehi.
Penemuan alat cetak mencetak
pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para
matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih
intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada
jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu
sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat
dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel
yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal,
lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di
dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut misalnya
memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka
menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian
mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku
ini kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini
sebetulnya telah digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh
Pythagoras.
Orang-orang
Babilonia telah menemukan sistem bilangan sexagesimal yang kemudian berguna
untuk melakukan perhitungan berkaitan dengan ilmu-ilmu perbintangan. Para
astronom pada jaman Babilonia telah berusaha untuk memprediksi suatu kejadian
dengan mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan dan titik
kritis dalam siklus planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan
visibilitas pertama dan terakhir). Mereka menemukan teknik untuk menghitung
posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur, diukur relatif terhadap
jalur gerakan jelas tahunan Matahari) dengan berturut-turut menambahkan istilah
yang tepat dalam perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno disamping
dikarenakan pengaruh dari Masopotamia dan Babilonia, tetapi juga dipengaruhi
oleh konteks Mesir yang mempunyai aliran sungai yang lebar dan panjang yang
menghidupi masyarakat Mesir dengan peradabannya. Persoalan hubungan
kemasyarakatan muncul dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi
keadaan alam yang dapat menimbulkan konflik diantara mereka, misalnya bagaimana
menentukan batas wilayah, ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah
banjir bandang terjadi yang mengakibatkan tanah mereka tertimbun lumpur hingga
beberapa meter. Dari salah satu kasus inilah kemudian muncul gagasan atau ide
tentang luas daerah, batas-batas dan bentuk-bentuknya. Maka pada jaman Mesir
Kuno, Geometri telah tumbuh pesat sebagai cabang Matematika.
Dalam waktu relatif singkat
(mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang dikembangkan oleh orang
Babilonia dan Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang Yunani. Misal,
Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu Yunani,
tetapi kemudian ia menggunakan metode dari Mesopotamia dan mengadopsi gaya
seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab
pada abad pertengahan dan dari situ ke Eropa, di mana itu tetap menonjol dalam
matematika astronomi selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari
ini tetap ada dalam penggunaan menit dan detik untuk mengukur waktu dan sudut.
Aspek dari matematika Babilonia yang telah sampai ke Yunani telah meningkatkan
kualitas kerja matematika dengan tidak hanya percaya denganbentuk-bentuk
fisiknya saja, melainan diperoleh kepercayaan melalui bukti-bukti matematika.
Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yang sudal dikenal sejak jaman Babilonia
yaitu sekitar seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara
matematis oleh Pythagoras pada jaman Yunani Kuno.
Pada jaman Yunani Kuno, selama
periode dari sekitar 600 SM sampai 300 SM , yang dikenal sebagai periode klasik
matematika, matematika berubah dari fungsi praktis menjadi struktur yang
koheren pengetahuan deduktif. Perubahan fokus dari pemecahan masalah praktis ke
pengetahuan tentang kebenaran matematis umum dan perkembangan obyek teori
mengubah matematika ke dalam suatu disiplin ilmu. Orang Yunani menunjukkan kepedulian
terhadap struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha untuk
menemukan secara pasti
Panjang sisi miring suatu
segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan angka yang tertentu
dengan skala yang sama yang berlaku untuk semua sisi-sisi segitiga tersebut.
Hal inilah yang kemudian
dikenal dengan persoalan Incommensurability, yaitu adanya skala yang tidak sama
agar diperoleh bilangan yang tertentu untuk sisi miringnya. Jika dipaksakan
digunakan skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka
menemukan bahwa panjang sisi miring bukanlah bilangan bulat melainkan bilangan
irrasional.
Prestasi bangsa Yunani Kuno
yang monumental adalah adanya karya Euclides tentang Geometri Aksiomatis.
Sumber utama untuk merekonstruksi pra-Euclidean buku karya Euclides bernama
Elemen (unsur-unsur), di mana sebagian besar isinya masih relevan dan
digunakan
hingga saat kini. Element terdiri dari 13 jilid. Buku I berkaitan dengan
kongruensi segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan hubungan daerah dari
segitiga dan jajaran genjang; Buku II menetapkan kehimpunanaraan yang
berhubungan dengan kotak, persegi panjang, dan segitiga; Buku III berisi
sifat-sifat Lingkaran; dan Buku IV berisi tentang poligon dalam lingkaran.
Sebagian besar isi dari Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, dan isi dari
Buku IV dapat dikaitkan dengan Pythagoras, sehingga dapat dipahami bahwa buku
Elemen ini memiliki sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V
menguraikan sebuah teori umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak
memerlukan pembatasan untuk besaran sepadan. Ini teori umum berasal dari
Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI menggambarkan sifat bujursangkar dan
generalisasi dari teori kongruensi pada Buku I. Buku VII-IX berisi tentang apa
yang oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori bilangan
bulat. Ini mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan
umum, dan bilangan prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik dan persegi
(Buku VIII), dan hasil khusus, seperti faktorisasi bilangan prima yang unik ke
dalam, keberadaan yang tidak terbatas jumlah bilangan prima, dan pembentukan
"sempurna" angka, yaitu angka-angka yang sama dengan jumlah pembagi
(Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus dan Buku VIII
dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional dan berasal dari karya
Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII
membuktikan theorems pada rasio lingkaran, rasio bola, dan volume piramida dan
kerucut. Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat besar.
Dari periode awal orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak dalam
hal prosedur praktis tetapi sebagai disiplin teoritis berkomitmen untuk
mengembangkan proposisi umum dan demonstrasi formal. Kisaran dan keragaman
temuan mereka, terutama yang dari abad SM-3, geometri telah menjadi materi
pelajaran selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun tradisi yang
ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap dan cacat.
Peningkatan pesat dari matematika di abad ke-17 didasarkan sebagian pada
pembaharuan terhadap matematika kuno dan matematika pada jaman Yunani. Mekanika
dari Galileo dan perhitungan-perhitungan yang dibuat Kepler dan Cavalieri,
merupakan inspirasi langsung bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang
dilakukan oleh Apollonius dan Pappus dirangsang oleh pendekatan baru dalam
geometri-misalnya, analitik yang dikembangkan oleh Descartes dan teori
proyektif dari Desargues Girard.
Kebangkitan matematika pada
abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf sebagai anti tesis
abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus merupakan
tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat jagat
raya; dan sebagai gantinya dia mengutarakan ide bahwa bukanlah Bumi melainkan
Mataharilah yang merupakan pusat tata surya, sedangkan Bumi mengelilinginya.
Jaman kebangkitan ini kemudian dikenal sebagai Jaman Modern, yang ditandai
dengan munculnya tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti
Immanuel Kant, Rene Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.
B. Filsafat Matematika
Wilkins, DR, 2004, menjelaskan
bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli
logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah
pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya
bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide
tentang jumlah
dan
kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling
cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya
dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi
matematika terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia
hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky
menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti
tapi di mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena
matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan
matematika konsistensi ini. Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah
kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas
hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan
penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan
kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.
Hempel, CG, 2001, menegaskan
kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu
sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi,
fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum
daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji
dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang
paling mapan astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum
matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar
biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk
kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.
Hempel, CG, 2001, lebih lanjut
menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan,
seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunaniap istilah
dari teori matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan himpunaniap
proposisi teori secara logis deducible dari postulat, adalah sepenuhnya tepat.
Perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan dalam
pembuktian proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip dapat
dinyatakan secara eksplisit ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika.
Dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, Hempel menerima tesis
dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep
matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat didefinisikan dalam
empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan
dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004,
menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka
integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan
pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat
dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika.
Bold, T., 2004, lebih lanjut
menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika
adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui
sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena
kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu
motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya
pikiran. Dia
menambahkan
bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak
terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak
terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas,
yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep
pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang
terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk
interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting
Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan rasional
sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya
masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam
matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa. Di sisi lain,
Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari
operasi manusia dengan koleksi benda-benda kongkrit, namun tidak mungkin untuk
memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan asli
sudah yang stabil tentang dan terlepas dari sumber yaitu sebenarnya. Hubungan
kuantitatif dari himpunanbenda-benda fisik dalam praktek manusia, dan mulai
bekerja sebagai model mandiri yang kokoh. Menurut dia, sistem bilangan asli
adalah idealisasi hubungan-hubungan kuantitatif; di mana orang memperolehnya
dari pengalaman mereka dengan himpunan dan ekstrapolasi aturan ke himpunan yang
jauh lebih besar (jutaan hal) dan dengan demikian situasi idealnya menjadi
nyata. Dia menegaskan bahwa proses idealisasi berakhir kokoh, tetap, dan
mandiri , sementara bangun-bangun fisiknya berubah. Sementara konsep matematika
diperoleh dengancara melepaskan sebagian besar sifat-sifatnya kemudian untuk
memikirkan sebagian kecil sifat-sifat tertentunya saja. Hal demikian yang
kemudian disebut sebagai abstraksi. Sementara sifat-sifat yang tersisa yang
memang harus dipelajari, diasumsikan bahwa mereka mempunyai sifat yang
sempurna; misal bahwa lurus adalah sempurna lurus, lancip adalah sempurna
lancip, demikian himpunanerusnya. Yang demikian itulah yang kemudian dikenal
sebagai idealisasi.
Peterson, I., 1998, menjelaskan
bahwa pada awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika David Hilbert
(1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem
aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar
aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran
matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan
bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti
bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada
saat yang sama, ia juga menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu
dapat membuktikan pernyataan yang diberikan bisa benar atau salah. Hilbert
berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu
proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah sistem
yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih mungkin,
meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi
mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang
valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan
menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika.
Di
sisi lain, ia menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika
formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan;
objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong
yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang
pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan
dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan
asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak
terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka
himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk
mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu
tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka
akan menjadi landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa
matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam
semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk
sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka.
Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli
apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem
formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan
teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau
himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan
kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika
yang terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.
Peterson, I., 1998, mencatat
bahwa apa Hilbert berpendapat bahwa kita dapat memecahkan masalah jika kita
cukup pintar dan bekerja cukup lama, dan matematikawan Gregory J. Chaitin dan
Thomas J. Watson tidak percaya dengan prinsip bahwa ada batas untuk apa
matematika bisa dicapai. Namun, pada tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978)
membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk
setiap sistem logika yang terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih
untuk mencakup jenis masalah matematika yang hebat yang bekerja pada setiap
hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa sistem matematika
konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson
mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya,
akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid
dalam sistem. Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu
bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada.
Chaitin membuktikan bahwa suatu
prosedur tidak dapat menghasilkan hasil yang lebih kompleks dari pada prosedur
itu sendiri, dengan kata lain, dia membuat teori bahwa wanita berbobot 1-pon
tidak bisa melahirkan bayi berbobot 10-pon. Wanita berbobot 10 pon tidak bisa
melahirkan bayi 100 pon, dst. Sebaliknya, Chaitin juga menunjukkan bahwa tidak
mungkin membuat prosedur untuk membuktikan bahwa sejumlah kompleksitas bersifat
acak, maka, sejauh bahwa pikiran manusia adalah sejenis komputer, mungkin ada
jenis kompleksitas begitu mendalam dan halus yang akal kita tidak pernah bisa
memahami nya; urutan apapun yang mungkin terletak pada kedalaman akan dapat
diakses, dan selalu akan muncul untuk kita sebagai keacakan. Pada saat yang
sama, membuktikan bahwa berurutan
adalah
acak juga dapat mengatasi kesulitan, tidak ada cara untuk memastikan bahwa kita
tidak diabaikan. Peterson, I., 1998, menyatakan bahwa hasil Chaitin ini
menunjukkan bahwa kita jauh lebih mungkin untuk menemukan keacakan dari
ketertiban dalam domain matematika tertentu; kompleksitas versin teorema Godel
menyatakan bahwa meskipun hampir semua bilangan adalah acak, tidak ada sistem
formal aksiomatis yang akan memungkinkan kita untuk membuktikan fakta ini.
Selanjutnya, Peterson, I.,
1998, menyimpulkan bahwa pekerjaan Chaitin ini menunjukkan bahwa ada jumlah tak
terbatas pernyataan matematika di mana seseorang dapat membuat, katakanlah,
aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, jadi tidak
ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan tersebut benar atau salah dengan
menggunakan aritmatika; dalam pandangan Chaitin ini, itu praktis sama dengan
mengatakan bahwa struktur aritmatika adalah acak. Chaitin menyimpulkan bahwa
struktur matematika adalah fakta matematis yang analog dengan hasil dari sebuah
lemparan koin dan kita tidak pernah bisa benar-benar membuktikan secara logis
apakah itu adalah benar, ia menambahkan bahwa dengan cara yang sama bahwa tidak
mungkin untuk memprediksi saat yang tepat di mana seorang individu yang terkena
radiasi atom mengalami peluruhan radioaktif. Matematika tak berdaya untuk
menjawab pertanyaan tertentu, sedangkan fisikawan masih dapat membuat prediksi
yang dapat diandalkan tentang rata-rata lebih dari besar dari atom, ahli
matematika mungkin dalam beberapa kasus terbatas pada pendekatan yang sama;
yang membuat matematika jauh lebih dari ilmu pengetahuan eksperimental.
Hempel, CG, 2001, berpendapat
bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai
interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan
definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara
yang unik . Sistem yang lebih luas dari itu Peano postulat yang diperoleh masih
belum lengkap dalam arti bahwa tidak setiap bilangan memiliki akar kuadrat, dan
lebih umum, tidak setiap persamaan aljabar memiliki solusi dalam sistem; ini
menunjukkan bahwa ekspansi lebih lanjut dari sistem bilangan dengan pengenalan
bilangan real dan akhirnya kompleks. Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari
dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai dapat didefinisikan untuk jumlah
sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat diperkenalkan,
dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini dapat dibuktikan, sehingga
akhirnya sistem besar matematika seperti di sini dibatasi bertumpu pada dasar
yang sempit dari sistem Peano itu; setiap konsep matematika dapat didefinisikan
dengan menggunakan tiga unsur primitif dari Peano, dan setiap proposisi
matematika dapat disimpulkan dari lima postulat yang diperkaya oleh definisi
dari non-primitif tersebut, langkah penyederhanaan, dalam banyak kasus, dengan
cara tidak lebih dari prinsip-prinsip logika formal; bukti beberapa theorems
tentang bilangan real, bagaimanapun, memerlukan satu asumsi yang biasanya tidak
termasuk di antara yang terakhir dan ini adalah aksioma yang disebut pilihan di
mana ia menyatakan bahwa terdapat himpunan-himpunan saling eksklusif, tidak ada
yang kosong, ada setidaknya satu himpunan yang memiliki tepat satu elemen yang
sama dengan masing-masing himpunan yang diberikan.
Hempel, CG, 2001, menyatakan
bahwa berdasarkan prinsip dan aturan logika formal, isi semua matematika dapat
diturunkan dari sistem sederhana Peano ini yaitu prestasi yang luar
biasa
dan sistematis, isi matematika dan penjelasan dasar-dasar yang validitas.
Menurut dia, sistem Peano memungkinkan interpretasi yang berbeda, sedangkan
dalam sehari-hari maupun dalam bahasa ilmiah, dapat dikembangkan untuk arti
khusus untuk konsep aritmatika. Hempel bersikeras bahwa jika karena itu
matematika adalah menjadi teori yang benar dari konsep-konsep matematika dalam
arti yang dimaksudkan, tidak cukup untuk validasi untuk menunjukkan bahwa
seluruh sistem adalah diturunkan dari Peano mendalilkan kecocokan definisi,
melainkan, kita harus bertanya lebih jauh apakah postulat Peano sebenarnya
benar ketika unsur primitif dipahami dalam arti sekedar sebagai kebiasaan. Jika
definisi di sini ditandai secara hati-hati dan ditulis yaitu bahwa hal ini
merupakan salah satu kasus di mana teknik-teknik simbolik, atau matematika, dan
logika membuktikan bahwa definiens dari setiap satu dari mereka secara
eksklusif mengandung istilah dari bidang logika murni.
Hempel, CG, 2001, menyatakan
bahwa sistem mandiri yang stabil tentang prinsip dasar adalah ciri khas dari
teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau perangkat
teknis pada dasarnya adalah sebuah model yang yang stabil tentang yang dapat
diselidiki secara independen dari "aslinya "dan, dengan demikian,
kemiripan model dan" asli "hanya menjadi terbatas, hanya model
tersebut dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel berpikir bahwa setiap
upaya untuk menyempurnakan model yaitu untuk mengubah definisi untuk
mendapatkan kesamaan lebih dengan "asli", mengarah ke model baru yang
harus tetap stabil, untuk memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu,
teori-teori matematika adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus
melakukannya jika kita bangun. Hempel menyatakan bahwa model matematika tidak
terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan tetapi terlihat bahwa
beberapa model dibangun dengan buruk, dalam arti korespondensi untuk
"aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi
berlangsung dengan sukses. Menurut dia, sejak model matematis didefinisikan
dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian" nya sumber
lagi. Satu dapat mengubah model atau memperoleh beberapa model baru tidak hanya
untuk kepentingan korespondensi dengan sumber "asli", tetapi juga
untuk percobaan belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai model
dengan mudah yang tidak memiliki "sumber asli" nya, yaitu sebuah
cabang matematika yang telah dikembangkan yang tidak memiliki dan tidak dapat
memiliki aplikasi untuk masalah yang nyata.
Hempel, CG, 2001, mencatat
bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian -
premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya
dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu;
dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya. Dia menyadari bahwa
teori-teori matematika yang terbuka untuk gagasan-gagasan baru, dengan
demikian, di Kalkulus setelah konsep kontinuitas terhubung maka berikut
diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas, kondisi Lipschitz, dll dan semua
ini tidak bertentangan dengan tesis tentang karakter aksioma, prinsip dan
aturan inferensi, namun tidak memungkinkan "matematika bekerja"
dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap. Kemerling,
G., 2002, menjelaskan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai
mencurahkan perhatian terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena
dua ribuan tahun logika Aristotelian tampak penjelasan yang lengkap dan final
dari akal manusia, namun geometri Euclid juga tampaknya aman, sampai
Lobachevsky dan Riemann menunjukkan bahwa konsepsi alternatif
tidak
hanya mungkin tetapi berguna dalam banyak aplikasi. Dia menyatakan bahwa
upaya-upaya serupa untuk berpikir ulang struktur logika mulai akhir abad
kesembilan belas di mana John Stuart Mill mencoba untuk mengembangkan sebuah
rekening komprehensif pemikiran manusia yang difokuskan pada induktif daripada
penalaran deduktif; bahkan penalaran matematika, John Stuart Mill seharusnya,
dapat didasarkan pada pengamatan empiris. Kemerling summep up yang banyak
filsuf dan matematikawan Namun, mengambil pendekatan yang berbeda.
Ia menjelaskan bahwa Logika
adalah studi tentang kebenaran yang diperlukan dan metode sistematis untuk
mengekspresikan dengan jelas dan rigourously menunjukkan kebenaran tersebut;
logicism adalah teori filsafat tentang status kebenaran matematika, yakni,
bahwa mereka secara logis diperlukan atau analitik. Disarankan bahwa untuk
memahami logika pertama-tama perlu untuk memahami perbedaan penting antara
proposisi kontingen, yang mungkin atau mungkin tidak benar, dan proposisi
perlu, yang tidak bisa salah; logika adalah bukti untuk membangun, yang
memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran proposisi terbukti.
Logika dapat didefinisikan sebagai bersangkutan dengan metode untuk penalaran.
Sistem logical kemudian formalisations satu metode yang tepat dan kebenaran
logis adalah mereka dibuktikan dengan metode yang benar. Kebenaran-kebenaran
matematika karena itu kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika
adalah sama dalam semua kemungkinan dunia, karena mereka tidak tergantung pada
keberadaan himpunan, hanya pada konsistensi anggapan bahwa himpunan yang
dibutuhkan ada; sejak benar dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika
harus logis diperlukan.
Shapiro, S., 2000, bersikeras
bahwa, logika adalah cabang kedua matematika dan cabang filsafat; bahasa
formal, sistem deduktif, dan model-teori semantik adalah objek matematika dan,
dengan demikian, ahli logika yang tertarik pada mereka matematika sifat dan
hubungan. Menurut Shapiro, logika adalah studi tentang penalaran yang benar,
dan penalaran merupakan kegiatan, epistemis mental, dan karena itu menimbulkan
pertanyaan mengenai relevansi filosofis aspek matematis dari logika; bagaimana
deducibility dan validitas, sebagai properti bahasa formal, berhubungan dengan
penalaran yang benar, apa hasil matematika dilaporkan di bawah ini ada
hubungannya dengan masalah filosofis asli. Beberapa filsuf menyatakan bahwa kalimat
deklaratif bahasa alam telah mendasari bentuk logis dan bahwa bentuk-bentuk
yang ditampilkan oleh formula bahasa formal. WVO Quine menyatakan bahwa bahasa
alam harus teratur, dibersihkan untuk pekerjaan ilmiah dan metafisik yang
serius, salah sesuatu yg diinginkan perusahaan adalah bahwa struktur logis
dalam bahasa diperintah harus transparan. Oleh karena itu, bahasa formal adalah
model matematika dari bahasa alami, sebuah bahasa formal menampilkan fitur
tertentu dari bahasa alam, atau idealisasi dari padanya, sementara mengabaikan
atau menyederhanakan fitur lainnya. Shapiro menyatakan bahwa tujuan dari model
matematika adalah untuk menjelaskan apa yang mereka model, tanpa mengklaim
bahwa model tersebut akurat dalam semua hal atau bahwa model harus mengganti
apa itu model.
Kemerling, G. 2002, menjelaskan
bahwa titik puncak dari pendekatan baru untuk logika terletak pada kapasitasnya
untuk menerangi sifat penalaran matematika, sedangkan kaum idealis berusaha
untuk mengungkapkan hubungan internal dari realitas absolut dan pragmatis
ditawarkan
untuk memperhitungkan manusia Permintaan sebagai pola longgar investigasi, ahli
logika baru berharap untuk menunjukkan bahwa hubungan paling signifikan antara
dapat dipahami sebagai murni formal dan eksternal. Kemerling mencatat bahwa
matematikawan seperti Richard Dedekind menyadari bahwa atas dasar ini
dimungkinkan untuk membangun matematika tegas dengan alasan logis, sedangkan
Giuseppe Peano telah menunjukkan pada 1889 bahwa semua aritmatika dapat
dikurangi ke sistem aksiomatis dengan hati-hati dibatasi himpunan awal
mendalilkan . Pada sisi lain, Frege segera berusaha untuk mengekspresikan
mendalilkan dalam notasi simbolik temuannya sendiri, dan dengan 1913, Russell
dan Whitehead telah menyelesaikanmonumental Principia Mathematica (1913),
dengan tiga volume besar untuk bergerak dari sebuah aksioma logis saja melalui
definisi nomor bukti bahwa "1 + 1 = 2." Kemerling menyatakan bahwa
meskipun karya Gödel dibuat menghapus keterbatasan dari pendekatan ini, signifikansi
bagi pemahaman kita tentang logika dan matematika tetap undimmed.
Pietroski, P., 2002, bersikeras
yang menarik bagi bentuk logis muncul dalam konteks upaya untuk mengatakan
lebih banyak tentang perbedaan antara kesimpulan intuitif sempurna, yang
mengundang metafora keamanan dan kedekatan, dan kesimpulan yang melibatkan
risiko tergelincir dari kebenaran kepalsuan . Dia menyatakan bahwa pemikiran
kuno adalah bahwa kesimpulan tanpa cela menunjukkan pola yang dapat dicirikan
oleh skema abstrak dari isi tertentu dari tempat tertentu dan kesimpulan,
dengan demikian mengungkapkan bentuk umum bersama banyak kesimpulan sempurna
lainnya; bentuk seperti, bersama dengan kesimpulan bahwa contoh mereka,
dikatakan valid. Pietroski diuraikan kesimpulan Stoik mencerminkan bentuk
abstrak: jika pertama kemudian yang kedua, dan yang pertama, maka yang kedua.
Oleh karena itu, Stoik dirumuskan yaitu skemata lain yang valid. Jika pertama
kemudian yang kedua, tetapi tidak yang kedua, jadi bukan yang pertama; Entah
pertama atau kedua, tetapi tidak yang kedua, jadi yang pertama, dan tidak baik
yang pertama dan kedua, tapi yang pertama, sehingga tidak yang kedua .
Pietroski, P., 2002, menyatakan
bahwa formulasi skema logis memerlukan variabel dalam proposisi; proposisi
adalah istilah seni untuk apapun variabel di atas direpresentasikan dalam
berbagai berani lebih dan dengan demikian merupakan hal-hal yang bisa benar
atau salah, sebab mereka adalah tempat potensial / yaitu kesimpulan. hal yang
bisa mencari dalam kesimpulan yang valid. Dia mengatakan bahwa kesimpulan dapat
menjadi proses mental dimana pemikir menarik kesimpulan dari beberapa tempat,
atau proposisi pemikir akan menerima mungkin sementara atau hipotetis jika dia
menerima lokasi dan kesimpulan, dengan satu proposisi ditunjuk sebagai
konsekuensi dugaan orang lain. Dia mencatat bahwa tidak jelas bahwa semua
kesimpulan sempurna adalah contoh dari beberapa bentuk yang valid, dan dengan
demikian kesimpulan yang impeccability adalah karena bentuk proposisi-proposisi
yang relevan, tetapi pikiran ini menjabat sebagai ideal untuk studi inferensi,
himpunanidaknya sejak pengobatan Aristoteles tentang contoh seperti. Menurut
dia, Aristoteles membahas berbagai kesimpulan tertentu, yang disebut silogisme,
yaitu melibatkan quantificational proposisi. ditunjukkan dengan kata-kata
seperti "setiap 'dan' beberapa”.
'.
Pietroski, P., 2002,
menggunakan terminologi yang sedikit berbeda bahwa teoretikus lain
memperlakukan semua elemen umum sebagai predikat, dan proposisi dengan struktur
tertentu dan dikatakan memiliki bentuk kategoris sebagai berikut: subyek-kata
kerja penghubung-predikat, dimana sebuah kata kerja penghubung, ditunjukkan
dengan kata-kata seperti 'adalah' atau 'adalah', link subjek yang terdiri dari
pembilang dan predikat untuk predikat, tetapi dengan merumuskan berbagai
schemata inferensi Aristotelian, dengan analisis proposisi kompleks,
infererences sempurna banyak yang terungkap sebagai kasus bentuk silogisme
valid. Pietroski menyatakan bahwa para ahli logika abad pertengahan membahas hubungan
logika untuk tata bahasa, ia membedakan bahwa bahasa yang diucapkan harus
menutupi aspek-aspek tertentu dari struktur logis dan memiliki struktur; mereka
terdiri, dengan cara yang sistematis, dari kata-kata; dan asumsi adalah bahwa
kalimat mencerminkan aspek utama bentuk logis, termasuk subjek-predikat
struktur. Dia mengakui bahwa menjelang akhir abad kedelapan belas, Kant bisa
mengatakan tanpa berlebihan bahwa banyak logika mengikuti jalur tunggal sejak
awal, dan bahwa sejak Aristoteles itu tidak harus menelusuri kembali satu
langkah. Menurut dia, Kant mengatakan bahwa logika silogisme adalah untuk semua
tampilan lengkap dan sempurna.
Hanya ada tiga istilah dalam
silogisme, karena kedua istilah dalam kesimpulan sudah dalam premisnya, dan
satu istilah umum bagi kedua premisnya. Ini mengarah pada definisi berikut:
predikat dalam kesimpulan disebut suku utama, subjek dalam kesimpulan disebut
suku kecil; istilah umum disebut term tengah, sedangkan premis yang mengandung
istilah utama disebut premis utama; dan premis yang mengandung istilah minor
disebut premis minor. Silogisme selalu ditulis premis mayor, premis minor,
kesimpulan, melainkan terbatas pada argumen silogisme, dan tidak bisa
menjelaskan kesimpulan umum yang melibatkan beberapa argumen. Hubungan dan
identitas harus diperlakukan sebagai hubungan subjek-predikat, yang membuat
pernyataan identitas matematika sulit untuk ditangani, dan tentu saja istilah
tunggal dan proposisi tunggal.
Pietroski, P., 2002,
menjelaskan bahwa dengan demikian, orang mungkin menduga bahwa ada relatif
sedikit disimpulkan pola dasar, beberapa kesimpulan bisa mencerminkan transisi
inheren menarik dalam pikiran; jelas bahwa para ahli logika berhak untuk
mengambil aturan inferensi dari B 'jika A , dan A, maka B 'sebagai sesuatu yang
aksiomatis, dan namun, berapa banyak aturan yang masuk akal dianggap sebagai
fundamental dalam pengertian ini? Dia berpendapat bahwa keanggunan teoritis dan
teori-teori yang mendukung penjelasan mendalam dengan asumsi tereduksi sedikit,
dan geometri Euclid telah lama menyediakan model untuk bagaimana menyajikan
obyek pengetahuan sebagai jaringan proposisi yang mengikuti dari aksioma dasar
beberapa, dan untuk beberapa alasan, dasar pertanyaan memainkan peran penting
dalam logika abad kesembilan belas dan matematika. Pietroski mengambil karya
Boole dan lain-lain untuk menunjukkan bahwa kemajuan dalam hal ini adalah
mungkin sehubungan dengan kesimpulan logika yang melibatkan variabel
proposisional; namun silogisme tetap tidak dapat disatukan dan tidak lengkap,
yang berhubungan dengan alasan lain dari gagalnya logika tradisional / tata
bahasa.
Dalam
pengembangan matematika modern, notasi Frege dirancang pertama yang cocok untuk
membangun matematika formal. Notasi yang lebih presisi memungkinkan Russell
untuk menemukan kelemahan dalam penalaran yang mereka dukung, yang dikenal
sebagai paradoks Russell. Hal ini pada gilirannya mendorong perkembangan lebih
lanjut dalam pemahaman kita tentang teori formal, khususnya, mereka
menghasilkan axiomatization teori himpunan yang didukung oleh intuisi semantik
yang merupakan iteratif konsepsi yang ditetapkan. Hal utama dari metode
analisis logis formal adalah penggunaan model matematika untuk menjabarkan arti
dari konsep yang dipertimbangkan; ini membawa unsur semantik ke latar depan dan
mendorong pengakuan bahwa ketika kita ingin menggunakan bahasa secara tepat
kita harus memilih arti yang tepat pula, dengan menganggap bahwa makna yang
tepat yang bisa didapatkan dari preseden, dapat dilakukan.
Pada sisi lain, Kemerling, G.,
2002, menyatakan bahwa William Hamilton menyarankan bahwa kuantifikasi predikat
terkandung dalam proposisi kategoris tradisional mungkin mengizinkan
interpretasi aljabar yang isinya merupakan pernyataan eksplisit dari identitas;
pandangan ini didorong Augustus De Morgan yang mengusulkan ekspresi simbolis
dari kopula sebagai hubungan logis murni, yang resmi mendapatkan fitur dalam
konteks yang berbeda banyak. Dia mencatat bahwa Teorema De Morgan sama baiknya
untuk himpunan irisan, himpunan gabungan, dan dalam logika dan disjungsi, De
Morgan juga menjelajahi gagasan Laplace probabilitas sebagai derajat keyakinan
rasional yang bisa jatuh antara kepastian sempurna dari kebenaran atau
kepalsuan. Selanjutnya, Kemerling menjelaskan bahwa George Boole menyelesaikan
transformasi ini dengan secara eksplisit dan menafsirkan logika kategoris
dengan referensi himpunan dari hal-hal dimana logis / himpunan-teoritis /
matematika relasi terus di antara kelas tersebut dapat dinyatakan setidaknya
juga dalam "aljabar Boolean". Kemerling mencatat bahwa Leonhard
Euler, dan John Venn menunjukkan, hubungan ini dapat direpresentasikan dalam
diagram topografi, model fitur validitas yang formal;dan semua perkembangan ini
mendorong para filsuf untuk memeriksa isomorfisma logika dan matematika lebih
dekat.
Ia menjelaskan bahwa logika
tradisional adalah istilah yang longgar untuk tradisi logis yang berasal dari
Aristoteles dan banyak berubah sampai munculnya logika predikat modern di akhir
abad kesembilan belas, dan asumsi mendasar dalam logika tradisional adalah
bahwa proposisi terdiri dari dua istilah dan bahwa proses penalaran pada
gilirannya dibangun dari proposisi; istilah adalah bagian dari mewakili
sesuatu, tetapi yang tidak benar atau salah dalam dirinya sendiri; proposisi
terdiri dari dua istilah, di mana satu istilah ditegaskan dan yang lainnya
kebenaran atau kepalsuan; silogisme adalah kesimpulan yang salah satu proposisi
berikut kebutuhan dari dua orang lain. Dalam logika , "proposisi"
hanyalah sebuah bentuk bahasa: jenis kalimat tertentu, dalam subjek dan
predikat digabungkan, sehingga untuk menyatakan sesuatu benar atau salah, itu
bukan pikiran, atau entitas yang abstrak atau apapun; kata
"propositio" berasal dari bahasa Latin, yang berarti premis pertama dari
silogisme. Aristoteles menggunakan premis kata (protasis) sebagai kalimat yang
menegaskan atau menyangkal satu hal lain sehingga premis juga merupakan bentuk
kata-kata. Namun, dalam logika filsafat modern, sekarang berarti apa yang
ditegaskan sebagai hasil dari mengucapkan kalimat, dan dianggap sebagai sesuatu
yang aneh mental atau disengaja.
Kualitas
proposisi adalah apakah itu positif atau negatif. Dengan demikian "setiap
orang adalah fana" adalah ya, karena "fana" ditegaskan dari
"manusia"; "Tidak ada pria abadi" adalah negatif, karena
"abadi ditolak dari" manusia ", sedangkan, kuantitas proposisi
adalah apakah itu universal atau tertentu.
Logika Aristoteles, juga
dikenal sebagai silogisme, adalah jenis tertentu dari logika yang dibuat oleh
Aristoteles, terutama dalam karya-karyanya Sebelum Analytics dan De
Interpretatione, tetapi kemudian dikembangkan menjadi apa yang dikenal sebagai
logika tradisional atau Logika Jangka. Aristoteles membuat 4 macam kalimat
terukur, masing-masing yang mengandung subjek dan predikat: afirmatif yang
universal yaitu S setiap P; yaitu negatif yang universal tidak S adalah P;
yaitu afirmatif tertentu beberapa S adalah P, dan negatif tertentu tidak setiap
S adalah P. Ada berbagai cara untuk menggabungkan kalimat tersebut ke dalam silogisme,
keduanya valid dan tidak valid; di zaman abad pertengahan, logika Aristotelian
diklasifikasikan setiap kemungkinan dan memberi mereka nama. Aristoteles juga
mengakui bahwa setiap jenis memiliki kalimat, misalnya, kebenaran universal
yang memerlukan sebuah afirmatif kebenaran afirmatif tertentu yang sesuai,
serta kesalahan negatif yang sesuai negatif dan tertentu universal.
Moschovakis, J., 2002,
bersikeras bahwa logika intuitionistic meliputi prinsip-prinsip penalaran logis
yang digunakan oleh LEJ Brouwer dalam mengembangkan matematika intuitionistic
nya, secara filosofis, intuitionism berbeda dari logicism dengan memperlakukan
logika sebagai bagian dari matematika bukan sebagai dasar dari matematika ;
dari finitism dengan memungkinkan penalaran tentang koleksi tak terbatas, dan
dari Platonisme dengan melihat objek matematika sebagai konstruksi mental yang
tanpa keberadaan yang ideal independen. Moschovakis menyatakan bahwa program
formalis Hilbert, untuk membenarkan matematika klasik dengan mengurangi ke
sistem formal yang konsistensi harus ditetapkan dengan cara finitistic, adalah
saingan kontemporer paling ampuh untuk intuitionism Brouwer 's berkembang. Pada
tahun 1912 Intuitionism dan Formalisme Brouwer dengan tepat memprediksikan
bahwa setiap upaya untuk membuktikan konsistensi induksi lengkap tentang
bilangan alam akan mengakibatkan lingkaran setan.
Banyak filsuf telah mengambil
matematika menjadi paradigma pengetahuan, dan penalaran yang digunakan dalam
mengikuti bukti matematika sering dianggap sebagai lambang pemikiran rasional,
namun matematika juga merupakan sumber yang kaya masalah filosofis yang menjadi
pusat epistemologi dan metafisika sejak awal filsafat Barat; di antara yang
paling penting adalah sebagai berikut: bilangan nol dan entitas matematika
lainnya ada secara independen dari kognisi manusia; Jika tidak maka bagaimana
kita menjelaskan penerapan matematika yang luar biasa bagi ilmu pengetahuan dan
urusan praktis?? Jika demikian maka apa hal yang mereka dan bagaimana kita bisa
tahu tentang mereka;? Dan Apa hubungan antara matematika dan logika? (.
Filsafat Matematika, http://Googlesearch) Pertanyaan pertama adalah pertanyaan
metafisik dengan kedekatan dekat dengan pertanyaan tentang keberadaan entitas
lain seperti universal, sifat dan nilai-nilai, sesuai dengan banyak filsuf,
jika entitas tersebut ada maka mereka sehingga di luar ruang dan waktu, dan
mereka tidak memiliki kekuatan kausal, mereka sering disebut abstrak
dibandingkan dengan entitas beton.
Jika
kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi yang
memadai matematika harus menjelaskan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka,
tentu saja, bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran bagi proposisi
matematika tetapi bukti bergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang
bagaimana kita bisa tahu kebenaran dari aksioma tetap. Hal ini biasanya
berpikir bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yang diperlukan, bagaimana
kemudian apakah mungkin bagi terbatas, makhluk fisik yang mendiami dunia yang
kontingen memiliki pengetahuan tentang kebenaran tersebut? Dua pandangan yang
luas secara baik yaitu mungkin kebenaran matematika dikenal dengan alasan, atau
mereka dikenal oleh inferensi dari pengalaman sensorik. Pandangan rasionalis
mantan diadopsi oleh Descartes dan Leibniz yang juga berpikir bahwa
konsep-konsep matematika adalah bawaan, sedangkan Locke dan Hume himpunanuju
bahwa kebenaran matematika dikenal oleh akal tapi mereka pikir semua
konsep-konsep matematika yang diperoleh abstraksi dari pengalaman; dan Mill
adalah seorang empiris lengkap tentang matematika dan memegang kedua bahwa
konsep-konsep matematika berasal dari pengalaman dan juga bahwa kebenaran
matematika adalah benar-benar generalisasi induktif dari pengalaman. Sementara
itu, penemuan pada pertengahan abad kesembilan belas non-Euclidean geometri
berarti bahwa filsuf dipaksa untuk menilai kembali status geometri Euclidean
yang sebelumnya telah dianggap sebagai contoh Shinning pengetahuan tertentu di
dunia, banyak mengambil keberadaan non konsisten -Euclidean geometri menjadi
penentangan secara langsung dari kedua Mill dan filsafat Kant tentang
matematika. Pada akhir abad kesembilan belas penyanyi telah ditemukan berbagai
paradoks dalam teori kelas dan ada sesuatu krisis dalam dasar matematika.
Pada awal abad kedua puluh kita
melihat kemajuan besar dalam matematika dan juga dalam logika matematika dan
dasar matematika dan sebagian besar isu-isu fundamental dalam filsafat
matematika dapat diakses oleh siapa saja yang akrab dengan geometri dan
aritmatika dan yang telah memiliki pengalaman mengikuti matematika bukti.
Namun, beberapa perkembangan filosofis paling penting dari abad kedua puluh itu
dipicu oleh perkembangan yang mendalam yang terjadi dalam matematika dan
logika, dan apresiasi yang tepat dari masalah ini hanya tersedia bagi seseorang
yang memiliki pemahaman tentang teori himpunan dasar dan menengah logika. Untuk
membahas falsafah matematika pada tingkat lanjutan yang benar-benar harus
memeriksa gagasan yang mencakup bukti dari teorema ketidaklengkapan Gödel 's
serta membaca tentang berbagai topik dalam filsafat matematika. Nikulin, D.,
2004, menjelaskan bahwa para ilmuwan kuno dan filsuf yang mengikuti program
Platonis-Pythagoras, dirasakan bahwa matematika dan metode yang dapat digunakan
untuk menggambarkan alam. Menurut Plato, matematika dapat memberikan
pengetahuan tentang engsel yang tidak bisa sebaliknya dan karena itu tidak ada
hubungannya dengan hal-hal fisik pernah lancar, tentang yang hanya ada pendapat
yang mungkin benar. Nikulin menyatakan bahwa Platonis hati-hati membedakan
antara aritmetika dan geometri dalam matematika itu sendiri, sebuah
rekonstruksi teori Plotinus 'dari nomor, yang mencakup pembagian Plato an dari
angka ke substansial dan kuantitatif, menunjukkan bahwa angka yang terstruktur
dan dipahami bertentangan dengan entitas geometris. Secara khusus, angka ini
dibentuk sebagai
kesatuan
sintetis terpisahkan, unit diskrit, sedangkan objek geometris yang terus
menerus dan tidak terdiri dari bagian tak terpisahkan.
Nikulin, D., 2004, menemukan
bahwa Platonis dianggap bahwa obyek matematika dianggap entitas intermediate
antara hal-hal fisik (obyek) dan niskala, hanya masuk akal, entitas
(pengertian). Menurut dia, dalam tradisi Platonis, kecerdasan, dilihat dari
kategori kehidupan, mampu hamil prinsip pertama; ditafsirkan sebagai dan
aktualitas murni, intelek selanjutnya disajikan melalui perbedaan antara
pikiran sebagai berpikir dan berpikir sebagai masuk akal , sebagai objek
pemikiran yang ada dalam komunikasi terganggu; pada pemikiran, bertentangan
diskursif, pada dasarnya terlibat dalam argumentasi matematis dan logis, tidak
lengkap dan hanya parsial. terus menerus dan tidak terdiri dari bagian tak
terpisahkan. Nikulin menunjukkan bahwa untuk Platonis alasan diskursif
melakukan kegiatannya di sejumlah langkah berurutan dilakukan, karena, tidak
seperti intelek, tidak mampu mewakili obyek pemikiran secara keseluruhan dan
kompleksitas yang unik dan dengan demikian harus memahami bagian objek dengan
sebagian, dalam urutan tertentu. Sementara, Folkerts, M., 2004, menunjukkan
bahwa Platonis percaya bahwa realitas abstrak adalah kenyataan. Dengan
demikian, mereka tidak memiliki masalah dengan kebenaran karena objek di bagian
ideal matematika memiliki sifat. Sebaliknya Platonis memiliki masalah
epistemologis - seseorang dapat memiliki pengetahuan tentang objek di bagian
ideal matematika, mereka tidak dapat menimpa pada indera kita dengan cara
apapun.
Ini mungkin bahwa selama bagian
tengah abad ini ada didirikan untuk sementara waktu penasaran stand-off; saat
ini baik logicism dan Formalisme ditahan telah gagal, hasil ketidaklengkapan
Gödel 's telah ikut berperan dalam kedua kasus, tapi intuitionism tetap utuh ,
maka secara filosofis intuitionism menjadi hal utama. Hebat matematika di sisi
lain, sepanjang mereka menganggap hal ini, mungkin tetap fomalist atau logicist
dalam kecenderungan, dalam paruh kedua tekanan pada abad ini paradigma klasik
telah berkembang dari beberapa sumber. Untuk perbedaan pendapat para filsuf
telah ditambahkan perbedaan pendapat dari ahli matematika yang telah menemukan
kesalahan dengan teori himpunan klasik sebagai sebuah yayasan, atau yang
meragukan perlunya memiliki dasar sama sekali; ilmu komputer semakin teoritis
telah memasuki arena ini, dan telah cenderung pengaruh radikal. (-----, 1997,
Kategori Teori dan Dasar-dasar Matematika RBJ,
http://www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm) Istilah "dasar atau landasan
matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang tertentu dari matematika
itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, teori
bukti dan teori model; pencarian dasar matematika Adalah juga pertanyaan
sentral dari filosofi matematika: atas dasar apa dapat laporan utama matematika
disebut "benar"? Paradigma matematika saat ini dominan didasarkan
pada teori himpunan aksiomatik dan logika formal; semua teorema matematika hari
ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori disusun; kebenaran pernyataan
matematika, dalam pandangan ini, kemudian apa-apa kecuali klaim bahwa
pernyataan itu dapat berasal dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan
logika formal. Namun, pendekatan formalistik tidak menjelaskan beberapa isu
seperti
mengapa
kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, mengapa
kita harus menggunakan aturan logika yang kita lakukan dan bukan lainnya,
mengapa "benar" pernyataan matematika tampaknya benar dalam dunia
fisik; dimana Wigner disebut ini sebagai efektivitas yang tidak masuk akal
matematika dalam ilmu fisika. -----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia,
ensiklopedia bebas. http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL. Kita mungkin
mempertanyakan apakah mungkin bahwa semua pernyataan matematika, bahkan
kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma-aksioma teori mengatur, apalagi,
sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel kedua, kita tidak
pernah bisa yakin bahwa ini tidak terjadi. Selanjutnya, ia menjelaskan bahwa
dalam realisme matematika, kadang-kadang disebut Platonisme, keberadaan dunia
objek matematika independen dari manusia ini mendalilkan; kebenaran tentang
obyek ditemukan oleh manusia, dalam pandangan ini, hukum alam dan hukum-hukum
matematika memiliki status yang sama, dan "efektivitas" berhenti menjadi
"masuk akal" dan tidak aksioma kita, tetapi dunia yang sangat nyata
dari objek matematika membentuk yayasan. Ia menjelaskan bahwa pertanyaan yang
jelas, kemudian, adalah: bagaimana kita mengakses dunia ini, beberapa teori
modern dalam filsafat matematika menyangkal keberadaan yayasan dalam arti asli;
beberapa teori cenderung berfokus pada praktek matematika, dan bertujuan untuk?
menggambarkan dan menganalisis kerja aktual yang hebat matematika sebagai
kelompok sosial, sedangkan, yang lain mencoba untuk menciptakan ilmu
pengetahuan kognitif matematika, dengan fokus pada kognisi manusia sebagai asal
dari keandalan matematika ketika diterapkan pada 'dunia nyata', dan karena itu,
ini teori akan mengusulkan untuk menemukan dasar hanya dalam pemikiran manusia,
tidak dalam 'tujuan' di luar konstruk. Singkatnya, masalah ini masih
kontroversial. (-----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia
bebas. Http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL) Podnieks, K, 1992, berpendapat
apakah matematika hanya sebuah ilmu pengetahuan abstrak dengan definisi yang
ketat yang hanya masalah pembuktian dan kejam, atau tentang dunia fisik tapi
kita harus belajar bagaimana menggunakan teori yang tepat tentang apa yang kita
rasakan di yang kita perlu teori intuisi untuk memungkinkan kita untuk menjaga
bagian infinitary matematika. Ia menunjukkan bahwa dalam matematika, ini,
diakui bahwa masalah timbul karena kejelasan un-yang hebat matematika memiliki
sekitar hubungan antara metode geometris dan metode numerik; metode geometris
yang memungkinkan sangat kecil terlalu tidak tepat dan ini menyebabkan
pengenalan aritmatika teknik untuk mempelajari analisis sangat kecil untuk
memberikan kekakuan yang kembali ke ide-ide Pythagoras. Sementara Kalderon, ME,
2004, menyatakan bahwa untuk mengembalikan "standar Euclidean lama
kekakuan" dengan memberikan bukti jelas klaim aritmatika yang memenuhi dua
kondisi bahwa asumsi himpunaniap eksplisit dinyatakan, dan himpunaniap transisi
inferensial adalah sesuai dengan aturan mengakui . Dia mengatakan bahwa dorongan
baru dari kekakuan dalam geometri dan analisis yang telah menuai berbuah dengan
mengungkapkan "batas berlaku" theorems penting, dengan membuat
eksplisit prinsip-prinsip dapat disimpulkan bahwa secara implisit memandu
penilaian kita kita dapat sampai pada metode umum pembentukan konsep yang dapat
membantu kita untuk memecahkan pertanyaan matematika terbuka. Kalderon
mengklaim
bahwa dengan mengurangi jumlah penilaian yang diterima tanpa bukti kita
mencapai ekonomi teoritis yang berharga, bahkan jika kebenaran adalah jelas
masih merupakan muka matematis untuk membuktikannya.
Kalderon, ME, 2004, berpendapat
apakah titik proyek Frege untuk membuktikan yang sudah jelas atau tidak, apa
adalah status epistemologis kebenaran matematika;? Mereka analitik apriori,
sintetik apriori, atau sintetik aposteriori;? Dan bagaimana adalah angka yang
diberikan kepada kami; bagaimana media Kant sensibilitas dan menengah Frege
nalar? Menurut dia, keputusan matematika adalah analitik hanya dalam kasus
konsep subjek berisi konsep predikat, dan penilaian matematika adalah analitik
hanya dalam kasus penolakan adalah kontradiksi-diri. Menurut Kalderon, Kant
menganggap konsep sebagai melibatkan check list fitur, konsep empiris adalah
konsep macam hal encounterable dalam pengalaman mana untuk menjadi jenis yang
relevan dari hal adalah memiliki fitur secara empiris dapat diamati, F1, F2,
..., Fn, yang secara logis independen, karena itu, penghakiman adalah analitik
hanya dalam kasus daftar fitur yang berhubungan dengan konsep predikat adalah
bagian dari daftar fitur yang berhubungan dengan konsep subjek. Kalderon
mencatat bahwa Kant menulis seolah-olah konsep selalu konsep khusus
encounterable; ia tidak membuat tunjangan untuk konsep relasional atau untuk
konsep hal yang tidak teramati dan fitur pada daftar tersebut yang seharusnya
secara logis independen, tetapi tidak semua konsep empiris sesuai pola ini dan
tidak semua konsep memiliki daftar fitur.
Kant, 1787, berpendapat bahwa
matematika adalah produk murni alasan, dan terlebih lagi adalah benar-benar
kimis, ia menemukan bahwa semua kognisi matematika memiliki keganjilan ini dan
pertama kali harus menunjukkan konsep dalam intuisi visual dan memang apriori,
oleh karena itu dalam intuisi yang tidak empiris, tetapi murni; tanpa ini, matematika
tidak dapat mengambil satu langkah, oleh karena keputusan-keputusannya selalu
visual, yaitu, intuitif;. sedangkan filsafat harus puas dengan penilaian
diskursif dari konsep-konsep belaka, dan meskipun mungkin menggambarkan
doktrin-doktrinnya melalui sosok visual, tidak pernah dapat memperoleh mereka
dari itu. Di sisi lain, Kant mengklaim bahwa intuisi empiris memungkinkan kita
tanpa kesulitan untuk memperbesar konsep yang kita bingkai dari suatu obyek
dari intuisi, dengan predikat baru, yang intuisi itu sendiri menyajikan secara
sintetis dalam pengalaman, sedangkan intuisi murni melakukannya juga, hanya
dengan perbedaan ini , bahwa dalam kasus terakhir penghakiman kimis adalah
apriori tertentu dan apodeictical, dalam, mantan hanya posteriori dan empiris
tertentu; karena yang terakhir ini hanya berisi apa yang terjadi pada intuisi
empiris kontingen, tetapi yang pertama, yang tentu harus ditemukan dalam
intuisi murni. Menurut Kant, karena intuisi adalah suatu representasi sebagai
segera tergantung pada keberadaan objek, tampaknya tidak mungkin untuk intuisi
dari awal apriori, karena intuisi akan dalam acara yang berlangsung tanpa baik
mantan atau benda hadir untuk merujuk untuk, dan oleh konsekuensi tidak bisa
intuisi. Selanjutnya, Kant, 1787, berpendapat bahwa intuisi matematika murni
yang meletakkan pada dasar dari semua kognisi dan penilaian yang muncul
sekaligus apodiktis dan diperlukan adalah Ruang dan Waktu, karena matematika
harus terlebih dahulu memiliki semua konsep
dalam
intuisi, dan matematika murni intuisi murni, maka, matematika harus membangun
mereka. Menurut Kant, Geometri didasarkan pada intuisi murni ruang, dan,
aritmatika menyelesaikan konsep angka dengan penambahan berurutan dari unit
dalam waktu; dan mekanik murni terutama tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa
menggunakan representasi waktu. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni,
sebagai kognisi kimis apriori, hanya mungkin dengan mengacu ada benda selain
yang indra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak sebuah intuisi murni
(ruang dan waktu) yang apriori. Kant menggambarkan bahwa dalam prosedur biasa
dan perlu geometers, semua bukti kesesuaian lengkap dari dua angka yang
diberikan akhirnya datang ini bahwa mereka mungkin dibuat bertepatan; yang
ternyata tidak lain proposisi kimis beristirahat pada intuisi langsung, dan
intuisi ini harus murni, atau diberikan secara apriori, jika proposisi tidak
dapat peringkat sebagai apodictically tertentu, tetapi akan memiliki kepastian
empiris saja. Kant selanjutnya menyimpulkan bahwa dasar matematika sebenarnya
intuisi murni, sedangkan deduksi transendental tentang konsep-konsep ruang dan
waktu menjelaskan, pada saat yang sama, kemungkinan matematika murni. Kant,
1787, menyatakan bahwa penilaian Matematika semua kimis dan ia berpendapat
bahwa fakta ini tampaknya sampai sekarang telah sama sekali lolos dari
pengamatan mereka yang telah dianalisis akal manusia; bahkan tampaknya langsung
menentang semua dugaan mereka, meskipun tak diragukan tertentu, dan yang paling
penting dalam konsekuensinya. Lebih lanjut ia menyatakan bahwa untuk saat
ditemukan bahwa kesimpulan yang hebat matematika semua berjalan sesuai hukum
kontradiksi seperti yang dituntut oleh semua kepastian apodiktis, pria
meyakinkan dirinya sendiri bahwa prinsip-prinsip dasar yang dikenal dari hukum
yang sama. "Ini adalah kesalahan besar", katanya. Dia kemudian
menyampaikan alasan bahwa untuk proposisi sintetis memang bisa dipahami menurut
hukum kontradiksi, tetapi hanya dengan mengandaikan lain proposisi sintetis dari
yang berikut, tetapi tidak pernah dalam dirinya sendiri. Kant mengemukakan
bahwa semua prinsip-prinsip geometri tidak kurang analitis, ia mengklaim bahwa
atribut sesak karena itu sama sekali tambahan, dan tidak dapat diperoleh oleh
himpunaniap analisis konsep, dan visualisasi yang harus datang untuk membantu
kita, dan oleh karena itu saja membuat sintesis mungkin. Kant berusaha untuk
menunjukkan bahwa dalam kasus proposisi identik, sebagai metode Rangkaian, dan
bukan sebagai prinsip, e. g., a = a, keseluruhan adalah sama dengan dirinya,
atau a + b> a, keseluruhan lebih besar dari bagiannya dan menyatakan bahwa
meskipun mereka diakui sebagai sah dari konsep-konsep belaka, mereka hanya
diperkenankan dalam matematika, karena mereka dapat direpresentasikan dalam bentuk
visual.
Kalderon, ME, 2004, terpapar
bahwa penilaian analitik adalah mereka yang menyangkal adalah kontradiksi-diri,
dan karakterisasi ini adalah hanya sebagai baik sebagai logika dasar, tetapi
Kant masih menerima logika lama yang diwarisi dari Aristoteles. Selanjutnya,
Kalderon mengklaim bahwa karakterisasi penahanan konseptual hanya berlaku untuk
penilaian afirmatif universal, yaitu, penilaian dari bentuk "Semua
Sebagaimana B.", Dan karakterisasi logis memiliki jangkauan yang lebih
luas penerapannya karena tidak terbatas pada afirmatif yang universal
penilaian. Kalderon berpendapat bahwa reconstrual Frege dari gagasan Kant
tentang analyticity sekaligus menyelesaikan kesulitan dan menyatukan
karakterisasi yang berbeda; kebenaran adalah analitik hanya dalam kasus itu
bisa diubah
menjadi
sebuah kebenaran logis oleh substitusi sinonim untuk sinonim, sementara
kebenaran logis adalah kebenaran yang dapat dibuktikan dari logika saja.
Kalderon mengklaim bahwa penolakan sebuah kebenaran logis adalah
kontradiksi-diri, sehingga karakterisasi Frege adalah himpunania dengan
semangat karakterisasi logis; bahwa kebenaran logis tiba di melalui substitusi
sinonim untuk sinonim explicates metafora Kant penahanan konseptual. Kalderon
lebih lanjut menegaskan bahwa sedangkan Kant mengklaim bahwa penilaian analitik
tidak bisa memperpanjang klaim Frege pengetahuan yang mereka bisa; menurut
Frege, perbedaan ini disebabkan konsepsi miskin Kant tentang pembentukan konsep
diberikan kehimpunaniaan kepada logika lama.
Kalderon, ME, 2004, bersikeras
bahwa konsep-konsep baru yang didapat dengan operasi persimpangan dan inklusi,
dan diberikan logika tua, membentuk konsep baru selalu masalah pemanfaatan
batas-batas wilayah yang ditetapkan oleh konsep antecedently diberikan; dan
Frege mempertahankan bahwa, mengingat logika barunya, ada kemungkinan
menggambar batas-batas baru. Namun, mendefinisikan konsep-konsep baru dengan
cara ini lisensi kita untuk menarik kesimpulan bahwa kami tidak berlisensi
untuk menarik sebelumnya, sehingga memperluas pengetahuan kita. Kalderon
menyatakan bahwa S kebenaran apriori hanya jika terdapat bukti dari S yang
tidak bergantung pada fakta-fakta dasar tentang objek tertentu, yaitu,
kalau-kalau terdapat himpunanidaknya satu bukti S yang hanya melibatkan
kebenaran umum sebagai tempat. Menurut Kalderon, Frege tampaknya telah
memberikan karakterisasi logis dari apa yang sebelumnya telah ditafsirkan
sebagai gagasan epistemologis; Frege dirasakan bahwa pengetahuan aposteriori
tergantung pada pengalaman untuk pembenaran, dan itu hanya informatif jika
pengalaman dapat ditentukan secara independen dari peran normatif . Kalderon
mengklaim bahwa dasar matematika adalah terutama karya matematika meskipun
karakter informal. Dia mencatat bahwa Frege hanya menjawab pertanyaan filosofis
konfigurasi ulang oleh mereka untuk memiliki jawaban matematika, dan motivasi
matematika Frege yang tidak asli menurut standar akhir matematika abad ke-19
dan mungkin kebenaran adalah suatu tempat di antara.
Kalderon, ME, 2004, menyatakan
bahwa aritmetika adalah analitik apriori; menjadi analitik, kebenaran
aritmatika harus ditransformasikan ke dalam kebenaran logis oleh substitusi
sinonim untuk sinonim, dan untuk bersikap apriori, kebenaran aritmatika harus
memiliki himpunanidaknya satu bukti dari tempat murni umum. Kalderon menyatakan
bahwa Frege harus melaksanakan proyek matematika untuk menentukan apa
aritmatika sejauh dapat dibuktikan dari logika dan definisi saja. Di sisi lain,
dalam kaitannya dengan motivasi matematika, Kalderon bersikeras bahwa menemukan
bukti mana bukti tersedia selalu kemajuan matematika bahkan jika batas-batas
keabsahan teorema benar-benar jelas dan teorema secara universal dianggap
sebagai jelas. Menurut Kalderon, dalam mengungkap dependensi logis antara
pemikiran ilmu hitung, satu secara eksplisit mengartikulasikan konten mereka
sehingga memperjelas materi pelajaran aritmatika; untuk dibenarkan dalam
pendapat matematika seseorang adalah untuk membawa mereka sejalan dengan urutan
ketergantungan objektivitas antara pemikiran ilmu hitung diungkapkan oleh bukti
matematis, karena itu, menemukan bukti mana bukti yang tersedia adalah kemajuan
matematika sejauh pembenaran pendapat matematika tergantung di atasnya, yang
pertama tergantung pada klaim
filosofis
tentang konten, yang kedua tergantung pada klaim filosofis tentang pembenaran.
Selanjutnya, Kalderon, ME, 2004, berpendapat bahwa kasus Frege untuk klaim
bahwa aritmatika adalah analitik apriori memiliki tiga komponen yang merupakan
argumen positif tunggal, sanggahan alternatif yang masih ada, yakni argumen
terhadap Kant, dan definisi dan sketsa bukti Frege kasus di mana hanya akan
selesai ketika definisi dan sketsa bukti secara formal dilaksanakan dalam
bahasa Begriffsschrift. Menurut Frege, kebenaran aritmatika mengatur semua yang
dpt dihitung, ini adalah domain terluas dari semua, karena untuk itu milik
tidak hanya yang sebenarnya, tidak hanya intuitable, tapi masuk akal semuanya.
Brouwer kemudian mengembangkan
teori himpunan dan teori pengukuran serta teori fungsi, tanpa menggunakan
prinsip dikecualikan tengah, ia adalah yang pertama untuk membangun sebuah
teori matematika menggunakan logika selain yang biasanya diterima.
(Http://home.mira.net/ ~ andy / karya / value.htm). Jadi, dia dikenal sebagai
intuinists yang mengusulkan falsafah matematika tanpa dasar, sedangkan Kant
sort untuk aritmatika dasar dalam pengalaman waktu dan geometri dalam
pengalaman ruang, Brouwer mencoba untuk memperhitungkan semua matematika dalam
hal intuisi yaitu sadar pengalaman waktu. Intuitionism bentrok dengan
matematika klasik sejauh Brouwer menyatakan bahwa tidak ada kebenaran di luar
pengalaman, dan karenanya bahwa hukum tengah dikecualikan tidak dapat
diterapkan pada semua pernyataan matematika yaitu di bagian infinitary tertentu
matematika adalah tak tentu berkaitan dengan beberapa sifat .
Bridges, D., 1997, menunjukkan
bahwa dalam filsafat Brouwer 's, matematika adalah ciptaan bebas dari pikiran
manusia, dan objek ada jika dan hanya jika dapat dibangun mental. Podnieks, K.,
1992, menunjukkan bahwa Hilbert pada tahun 1891 berhasil memproduksi terus
menerus, namun tidak satu-ke-satu, pemetaan dari suatu segmen ke persegi
panjang, dan disimpan gagasan dimensi dengan membuktikan bahwa Dedekind yang
tepat yang terus menerus satu ke-satu korespondensi antara kontinum dari
dimensionalities berbeda adalah mustahil. Podnieks, K., 1992, terkena pekerjaan
Brouwer dari rangkaian hipotesa yang disebut, di mana dengan berbagai terbatas
himpunan poin penyanyi menetapkan bahwa semua terbatas himpunan dia bisa menghasilkan,
terbagi dalam dua kategori: himpunan dpt dihitung yaitu himpunan yang bisa
dihitung dengan menggunakan bilangan asli dan himpunan yang himpunanara dengan
seluruh kontinum yaitu himpunan semua bilangan real. Menurut Podnieks, penyanyi
sendiri tidak dapat menghasilkan himpunan "kekuatan menengah",
himpunan terhitung yaitu titik yang tidak himpunanara dengan seluruh kontinum,
inilah mengapa ia menduga bahwa himpunan tersebut tidak ada dan dugaan ini
dikenal sebagai kontinum hipotesis menurut Brouwer yang himpunaniap rangkaian
tak terbatas poin baik adalah terhitung, atau himpunanara dengan seluruh
kontinum.
Podnieks, K., 1992, bersikeras
bahwa intuitionism memeluk dua teori filosofis penting yaitu Ajaran Brouwer
yang benar adalah menjadi berpengalaman, apapun ada berawal pada pikiran sadar
kita. Menurut Brouwer, obyek matematika bersifat abstrak, apriori, bentuk
intuisi kita, Dia percaya bahwa pikiran hanya adalah miliknya sendiri, dan
kurang peduli dengan antar-subjektivitas dari Immanuel Kant. Brouwer menolak
klaim intuisi apriori ruang, melainkan ia berpikir matematika didasarkan
sepenuhnya pada intuisi apriori waktu. Menurut Posy,
Brouwer
percaya bahwa struktur panduan waktu semua kegiatan sadar dan keberadaan
non-Euclidean geometri melarang intuisi yang satu apriori ruang. Posy
menjelaskan bahwa Brouwer harus merekonstruksi bagian-bagian tertentu dari
matematika diberikan kendala sendiri. Program positif intuitionism adalah
konstruksi matematika sebagai dibatasi oleh Teori Brouwer 's Kesadaran. Program
negatif intuitionism berpendapat bahwa matematika standar sebenarnya salah atau
paling tidak konsisten. Brouwer tidak berpendapat bahwa matematika standar
tidak konsisten; argumennya didasarkan pada idealisme epistemologis nya.
Brouwer membuat sedikit perbedaan antara Hilbert dan Platonis. Beberapa
konstruksi Brouwer 's tergantung pada asumsi bahwa jika proposisi adalah benar,
kita bisa mengetahui bahwa itu benar.
Godel, K., 1961, menyatakan
bahwa matematika, berdasarkan sifatnya sebagai sebuah ilmu apriori, selalu
telah, dalam dan dari dirinya sendiri dan, untuk alasan ini, telah lama
bertahan semangat dari waktu yang telah memerintah sejak yaitu Renaissance,
teori empiris matematika; matematika telah berkembang menjadi abstraksi yang
lebih tinggi, jauh dari kejelasan materi dan untuk semakin besar di fondasinya
misalnya, dengan memberikan landasan yang tepat dari kalkulus dan bilangan
kompleks, dan dengan demikian, jauh dari sikap skeptis. Namun, sekitar
pergantian abad, jam nya disambar antinomi teori himpunan, kontradiksi yang
diduga muncul dalam matematika, yang penting itu dibesar-besarkan oleh
scepticist dan empirisis dan yang dipekerjakan sebagai alasan untuk pergolakan
ke kiri. Godel menyatakan bahwa, himpunanelah semua, apa kepentingan matematika
adalah apa yang dapat dilakukan, dalam kebenaran, matematika menjadi ilmu
empiris, jika kita membuktikan dari aksioma sewenang-wenang mendalilkan bahwa
himpunaniap bilangan asli adalah jumlah dari empat kotak, tidak di semua
mengikuti dengan pasti bahwa kita tidak akan pernah menemukan counter-contoh
untuk teorema ini, karena aksioma kami bisa himpunanelah semua menjadi tidak
konsisten, dan kita dapat mengatakan bahwa itu berikut dengan probabilitas
tertentu, karena meskipun pemotongan banyak kontradiksi sejauh ini ditemukan.
Menurut Godel, melalui konsepsi hipotetis matematika, banyak pertanyaan yang
kehilangan bentuk apakah proposisi A terus atau tidak atau A atau ~ A.
Godel, K., 1961, berpendapat
bahwa formalisme Hilbert mewakili baik dengan semangat waktu dan hakekat
matematika di mana, di satu sisi, sesuai dengan ide-ide yang berlaku dalam
filsafat dewasa ini, kebenaran dari aksioma dari mana matematika mulai keluar
tidak dapat dibenarkan atau diakui dengan cara apapun, dan karena itu gambar
konsekuensi dari mereka memiliki makna hanya dalam pengertian hipotesis, dimana
ini gambar dari konsekuensi itu sendiri ditafsirkan sebagai permainan belaka
dengan simbol menurut aturan tertentu, juga tidak didukung oleh wawasan. Lebih
lanjut, Godel mengklaim bahwa bukti atas kebenaran suatu proposisi sebagai
representability dari himpunaniap nomor sebagai jumlah dari empat kotak harus
memberikan landasan yang aman untuk proposisi bahwa bahwa himpunaniap
ya-atau-tidak tepat dirumuskan pertanyaan dalam matematika harus memiliki jelas
-memotong jawaban yaitu satu bertujuan untuk membuktikan bahwa dari dua kalimat
A dan ~ A, tepat satu selalu dapat diturunkan. Godel mengklaim bahwa tidak
keduanya dapat diturunkan merupakan konsistensi, dan yang satu selalu bisa benar-benar
diturunkan berarti bahwa pertanyaan matematika diungkapkan oleh A dapat tegas
menjawab. Godel
menyarankan
bahwa jika seseorang ingin membenarkan dua pernyataan dengan kepastian
matematika, bagian tertentu dari matematika harus diakui sebagai benar dalam
arti filosofi kanan tua.
Godel, K., 1961, bersikeras
bahwa jika kita membatasi diri dengan teori bilangan asli, adalah mustahil
untuk menemukan sistem aksioma dan aturan formal di mana untuk himpunaniap
proposisi nomor-teori A, A atau ~~~V A akan selalu diturunkan, dan untuk
aksioma cukup komprehensif matematika, tidak mungkin untuk melaksanakan bukti
konsistensi hanya dengan merefleksikan kombinasi beton simbol, tanpa
memperkenalkan elemen yang lebih abstrak. Godel mengklaim bahwa kombinasi
Hilbertian materialisme dan aspek matematika klasik terbukti mustahil. Godel
mempertahankan bahwa hanya ada dua kemungkinan baik menyerah aspek kanan lama
matematika atau upaya untuk menegakkan mereka dalam kontradiksi dengan semangat
zaman, ia kemudian menyatakan bahwa: Satu hanya menyerah aspek yang akan
pemenuhan dalam hal apapun sangat diinginkan dan yang memiliki banyak untuk
merekomendasikan diri mereka: yaitu, di satu sisi, untuk menjaga untuk
matematika kepastian pengetahuan, dan di sisi lain, untuk menegakkan keyakinan
bahwa untuk pertanyaan yang jelas yang ditimbulkan oleh alasan, alasan juga
dapat menemukan jawaban yang jelas. Dan seperti yang perlu dicatat, salah satu
menyerah aspek-aspek ini bukan karena hasil matematika dicapai memaksa
seseorang untuk melakukannya tetapi karena itu adalah satu-satunya cara
mungkin, meskipun hasil ini, untuk tetap sesuai dengan filosofi yang berlaku.
Godel, K., 1961, menegaskan
bahwa kepastian matematika adalah harus diamankan tidak dengan membuktikan
sifat tertentu dengan proyeksi ke sistem bahan yaitu manipulasi simbol-simbol
fisik melainkan dengan mengembangkan atau memperdalam pengetahuan tentang
konsep-konsep abstrak sendiri yang mengarah pada pengaturan dari sistem
mekanik, dan selanjutnya dengan mencari, sesuai dengan prosedur yang sama,
untuk memperoleh wawasan solvabilitas, dan metode aktual untuk solusi, dari
semua masalah matematika yang bermakna. Namun, Godel bersikeras bahwa untuk
memperluas pengetahuan kita tentang konsep-konsep abstrak, yaitu untuk membuat konsep-konsep
diri yang tepat dan untuk mendapatkan wawasan yang komprehensif dan aman ke
dalam hubungan mendasar yang hidup di antara mereka, yaitu, ke dalam aksioma
yang terus bagi mereka, tidak oleh mencoba memberikan definisi eksplisit untuk
konsep dan bukti untuk aksioma, karena untuk satu yang jelas perlu lainnya
un-didefinisikan konsep-konsep abstrak dan aksioma induk mereka, jika tidak
orang akan memiliki apa-apa dari mana orang bisa mendefinisikan atau
membuktikan. Godel mengklaim bahwa prosedur itu harus terletak dalam
klarifikasi makna yang tidak terdiri dalam memberikan definisi, ia menyatakan
bahwa dalam pembentukan sistematis dari aksioma matematika, aksioma baru
menjadi jelas dan sama sekali tidak dikecualikan oleh hasil negatif yang tetap
himpunaniap jelas diajukan matematika ya atau ada pertanyaan dipecahkan dengan
cara ini, karena hanya ini menjadi jelas aksioma lebih dan lebih baru atas
dasar arti dari pengertian primitif bahwa mesin tidak dapat meniru.
Irvine, AD, 2003, menjelaskan
bahwa logicism pertama kali dianjurkan pada abad ketujuh belas-an oleh
Gottfried Leibniz. Kemudian, ide itu dipertahankan secara lebih rinci oleh
Frege
Gottlob. Irnine menunjukkan bahwa selama gerakan kritis dimulai pada 1820-an,
ahli matematika seperti Bernard Bolzano, Niels Abel, Louis Cauchy dan Karl
Weierstrass berhasil menghilangkan banyak ketidakjelasan dan banyak kontradiksi
yang ada dalam teori matematika dari hari mereka, dan oleh 1800-an, William
Hamilton juga memperkenalkan pasangan teratur dari real sebagai langkah pertama
dalam memasok secara logis untuk nomor kompleks. Irvine menunjukkan bahwa dalam
banyak semangat yang sama, Karl Weierstrass, Richard Dedekind dan Georg Cantor
memiliki juga semua metode dikembangkan untuk mendirikan irrationals dalam hal
rationals, dan menggunakan karya HG Grassmann dan Richard Dedekind, Guiseppe
Peano telah kemudian pergi untuk mengembangkan teori rationals berdasarkan
axioms sekarang terkenal dengan alam nomor, serta demi hari Frege, secara umum
diakui bahwa sebagian besar matematika bisa diturunkan dari satu himpunan yang
relatif kecil dari gagasan primitif.
Logicism adalah doktrin bahwa
Matematika adalah direduksi ke Logic. Tradisi analitik modern dimulai dengan
karya Frege dan Russell untuk keduanya matematika adalah perhatian sentral.
Sebagai logicists menyatakan bahwa pernyataan matematis, jika mereka benar sama
sekali, adalah benar tentu, maka prinsip-prinsip logika juga biasanya dianggap
kebenaran yang diperlukan, mungkin maka kebenaran matematika yang benar-benar
kebenaran logis hanya rumit. Logicism adalah nama yang diberikan untuk program
penelitian yang diprakarsai oleh Frege dan dikembangkan oleh Russell dan
Whitehead tujuan yang adalah untuk menunjukkan bagaimana matematika direduksi
menjadi logika. Frege mencoba untuk memberikan matematika dengan dasar yang
logis suara, sayangnya Russel menemukan bahwa sistem Frege tidak konsisten;
karya terkenal Russell pada teori jenis merupakan upaya untuk menghindari
paradoks yang menimpa versi Frege dari logicism. (Filosofi Matematika,
http://Googlesearch.). Moschovakis, JR, 1999, mengatakan bahwa logika
intuitionistic meliputi prinsip-prinsip penalaran logis yang digunakan oleh LEJ
Brouwer; filosofis, intuitionism berbeda dari logicism dengan memperlakukan
logika sebagai bagian dari matematika bukan sebagai dasar dari matematika, dari
finitism dengan memungkinkan ( konstruktif) penalaran tentang koleksi tak
terbatas, dan dari Platonisme dengan melihat objek matematika sebagai
konstruksi mental yang tanpa keberadaan yang ideal independen. Moschovakis
menyatakan bahwa program formalis Hilbert, untuk membenarkan matematika klasik
dengan mengurangi ke sistem formal yang konsistensi harus ditetapkan dengan
cara finitistic, adalah saingan kontemporer paling ampuh untuk intuitionism
Brouwer 's berkembang; ia menolak formalisme semata tetapi mengakui kegunaan
potensi merumuskan umum prinsip-prinsip logis mengekspresikan konstruksi
intuitionistically benar, seperti modus ponens. Moschovakis menunjukkan bahwa
sistem formal untuk logika proposisional dan predikat intuitionistic tersebut
dikembangkan oleh Heyting [1930], Gentzen [1935] dan Kleene [1952]; dan
terjemahan Gödel-Gentzen negatif ditafsirkan logika predikat klasik dalam
subsistem intuitionistic nya. Dalam [1965] Kripke memberikan semantik terhadap
yang logika predikat intuitionistic selesai.
Podnieks, K., 1992, mencatat
bahwa menurut intuitionists, persamaan yang melibatkan operator numerik dasar
seperti, terkait dengan empat kegiatan: menghasilkan angka, melihat dua dari
mereka bersama-sama, dan mengenali mereka sama dengan ketiga, dan intuitionism
standar
Brouwer 's hanya membatasi kita untuk apa yang finitary dan menurut teori
intuisionis, reductio ad absurdum bukti tidak diijinkan untuk membuktikan bahwa
sesuatu itu ada meskipun mereka diterima untuk hasil negatif. Brouwer melihat
bahwa himpunan algoritma dihitung adalah enumerable yaitu memiliki jumlah
kardinal 0, sehingga kita tidak bisa membatasi angka nyata untuk himpunan ini,
karena kemudian akan tidak memiliki sifat bahwa real terhitung miliki. Posy
menunjukkan bahwa solusi Brouwer adalah generalisasi dari konsep algoritma atau
aturan untuk memberikan jumlah tak terhitung algoritma untuk memberikan apa
yang dibutuhkan untuk real itu adalah gagasan tentang urutan pilihan. Brouwer
umum algoritma dengan melonggarkan persyaratan bahwa algoritma menjadi
deterministik dan hasilnya adalah urutan di mana elemen berurutan dapat dipilih
dari sekumpulan kandidat. Menurut Brouwer, urutan pilihan diberikan oleh aturan
deterministik untuk memberikan beberapa elemen pertama, dan aturan
tidak-selalu-deterministik untuk memilih elemen berikutnya. Posy bertanya-tanya
apakah mereka adalah sama dan bertemu dengan bilangan real yang sama, dia
mengatakan bahwa dia tidak dan tidak dapat mengetahui hal ini. Dengan demikian,
menyebabkan kesimpulan bahwa beberapa pertanyaan penting tentang urutan pilihan
tidak dijawab dalam jumlah waktu yang terbatas dan dengan demikian, tidak ada
kebenaran tentang pertanyaan tentang kehimpunanaraan akhir dan kita bahkan
tidak tahu apakah kita akan tahu menjawab dalam jumlah waktu yang terbatas.
Posy menyimpulkan bahwa Brouwer harus himpunan ulang teori bertepatan dengan
konstruksi yang lain di mana di bawah versinya menetapkan teori, perbedaan
antara unsur satu himpunan dan himpunan sendiri kurang terdefinisi dengan baik.
Dalam hal geometri, Posy, C., 1992, menunjukkan bahwa Brouwer merasakan bahwa
sifat ruang dianggap murni geometris dapat dinyatakan temporal sekali kita
mengakui bahwa apa yang menjadi ciri struktur waktu adalah bahwa masa depan
masih ragu-ragu. Menurut Posy, Brouwer percaya bahwa bagian-bagian yang ideal
matematika terdiri dari objek yang sebenarnya diciptakan dalam pikiran. Di sisi
lain, Brouwer mengakui bahwa ada masalah dengan urutan pilihan karena fakta
bahwa sejumlah nyata diciptakan oleh tindakan pilihan tampaknya tidak tepat
yang diperlukan tindakan manusia yang Brouwer tidak merasa itu harus dimasukkan
dalam matematika . Namun, Brouwer telah memperkenalkan metode subjek
menciptakan untuk menghasilkan bilangan real yang menyebabkan dia menjadi
seorang matematikawan ideal, ia toke B, dan membagi penelitian ke tahap di mana
pada himpunaniap tahap ada masalah matematika yang belum terpecahkan sebagai:
(n) = ½ jika pada tahap n, B belum terbukti atau membantah masalah yang belum
terpecahkan, (n) = jika pada tahap n, B telah memecahkan masalah. Brouwer
mengatakan bahwa proses ini membentuk urutan yang adalah bilangan real dan
tidak ada tindakan pilihan, namun ada prosedur otomatis, menangkap efek yang
sama dengan urutan pilihan, tanpa memanfaatkan tindakan non-matematika pilihan.
Posy disimpulkan bahwa metode ini tidak akan bekerja jika masalah belum
terpecahkan diselesaikan, sehingga, agar metode subyek menciptakan menjadi
metode yang dapat diterima, harus ada pasokan yang tak habis-habisnya masalah
matematika yang tak terpecahkan. Brouwer percaya hal ini benar, namun Hilbert
mengatakan bahwa tidak akan ada masalah yang tak terpecahkan pada prinsipnya,
dimana Brouwer jelas bertentangan dengan pandangannya.
Menurut
teori formalis, kita memiliki konsepsi sangat masuk akal pengetahuan objek
dalam matematika nyata; sehubungan dengan matematika yang ideal, kita dapat
memperoleh konsepsi dari objek melalui penggunaan sistem formal. Namun,
kebenaran hanya bisa untuk bagian nyata dari matematika, tidak ada hal-hal
sesuai dengan keyakinan kita di bagian yang ideal. Hal ini menghasilkan teori
dualistik kebenaran - beberapa pemikiran yang benar melalui teori, hibrida
buatan, sementara yang lain adalah benar melalui cara-cara normal (Folkerts,
M., 2004). Formalisme terutama terkait dengan David Hilbert yang sering
dicirikan sebagai pandangan bahwa logika dan matematika adalah permainan yang
formal belaka dan memiliki legitimasi yang independen dari isi semantik dari
formalisme, asalkan kita dapat diyakinkan dari konsistensi sistem formal.
Program Hilbert untuk menyelesaikan paradoks adalah untuk mencari bukti
konsistensi finitary untuk seluruh matematika klasik, ini biasanya diadakan
untuk telah ditunjukkan mungkin oleh teorema ketidaklengkapan kedua Gödel,
bagaimanapun unsur ketidakpastian tentang apa yang dimaksud dengan finitary
membuat ini tidak mutlak konklusif. -----, 1997, Kategori Teori dan Dasar-dasar
Matematika, RBJ, http://www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm.
Sementara itu, Folkerts, M.,
2004, menunjukkan bahwa pada tahun 1920 Hilbert mengajukan proposal yang paling
rinci untuk menetapkan validitas matematika; menurut teori bukti, semuanya akan
dimasukkan ke dalam bentuk aksioma, memungkinkan aturan inferensi menjadi hanya
logika dasar, dan hanya mereka kesimpulan yang bisa dicapai dari himpunan
berhingga dari aksioma dan aturan inferensi itu harus diterima. Dia mengusulkan
bahwa sebuah sistem yang memuaskan akan menjadi salah satu yang konsisten, lengkap,
dan decidable; oleh Hilbert konsisten berarti bahwa itu harus mungkin untuk
menurunkan kedua pernyataan dan negasinya; dengan lengkap, bahwa himpunaniap
pernyataan yang ditulis dengan benar harus sedemikian rupa bahwa baik itu atau
negasinya adalah diturunkan dari aksioma; oleh decidable, bahwa seseorang harus
memiliki algoritma yang menentukan dari himpunaniap pernyataan yang diberikan
apakah itu atau negasinya dapat dibuktikan. Menurut Hilbert, sistem seperti itu
ada, misalnya, orde pertama predikat kalkulus, tapi tidak ada yang ditemukan
mampu memungkinkan matematikawan untuk melakukan matematika yang menarik.
Hilbert, D., 1972, menunjukkan
bahwa itu Brouwer menyatakan bahwa pernyataan eksistensi ada artinya dalam diri
mereka kecuali mereka mengandung pembangunan objek menegaskan ada, adalah scrip
tidak berharga, dan penggunaannya menyebabkan matematika untuk berubah menjadi
sebuah permainan. Hilbert Brouwer mencatat urusan sehubungan dengan celaan
bahwa matematika akan berubah menjadi sebuah permainan dengan mengklaim bahwa
sumber teorema eksistensi murni adalah c-aksioma logis, di mana pada gilirannya
pembangunan dari semua proposisi yang ideal tergantung, ia berpendapat sejauh
dari permainan rumus dimungkinkan berhasil. Menurut Hilbert, permainan rumus
memungkinkan kita untuk mengungkapkan isi pikiran-seluruh ilmu matematika
dengan cara yang seragam dan mengembangkannya sedemikian rupa sehingga, pada
saat yang sama, interkoneksi antara proposisi individu dan fakta menjadi jelas;
untuk membuatnya menjadi kebutuhan universal yang himpunaniap rumus individu
maka akan ditafsirkan dengan sendirinya tidak berarti
wajar,
sebaliknya, sebuah teori pada dasarnya adalah seperti yang kita tidak perlu
untuk jatuh kembali pada intuisi atau makna di tengah-tengah beberapa argumen.
Hilbert, D., 1972, menyatakan
bahwa nilai bukti keberadaan murni justru terdiri bahwa konstruksi individu
dihilangkan oleh mereka dan bahwa konstruksi yang berbeda banyak yang
digolongkan di bawah satu ide fundamental, sehingga hanya apa yang penting
untuk membuktikan menonjol jelas ; singkatnya dan pemikiran ekonomi adalah
raison d'etre dari bukti keberadaan, ia kemudian diberitahu bahwa teorema
eksistensi murni telah menjadi landmark yang paling penting dalam sejarah
perkembangan ilmu kita. Tapi pertimbangan tersebut tidak merepotkan intuisionis
yang taat. Menurut Hilbert, permainan formula yang Brouwer begitu deprecates
memiliki, selain nilai matematika, makna filosofis penting umum, karena ini
permainan formula dilakukan sesuai dengan aturan yang pasti tertentu, di mana
teknik pemikiran kita diungkapkan dan ini bentuk aturan sistem tertutup yang
dapat ditemukan dan dinyatakan secara definitif. Hilbert menegaskan bahwa ide
dasar dari teori bukti tidak lain adalah untuk menggambarkan aktivitas
pemahaman kita, untuk membuat sebuah protokol aturan yang menurut pemikiran
kita benar-benar hasil; menurut dia berpikir, begitu terjadi, sejajar berbicara
dan menulis : kita bentuk pernyataan dan menempatkan mereka satu di belakang
lain. Dia berargumen bahwa jika ada totalitas pengamatan dan fenomena layak
untuk dijadikan obyek penelitian yang serius dan menyeluruh, inilah
satu-karena, himpunanelah semua, itu adalah bagian dari tugas ilmu pengetahuan
untuk membebaskan kita dari kesewenang-wenangan, sentimen, dan kebiasaan dan
untuk melindungi kita dari subjektivisme yang sudah dibuat sendiri merasa di
Kronecker pandangan dan, tampaknya dia, menemukan titik puncaknya dalam
intuitionism.
Hilbert, D., 1972, bersikeras
bahwa tantangan intuitionism yang paling tajam dan paling bersemangat adalah
satu itu teman kencan di validitas prinsip dikecualikan tengah, misalnya, dalam
kasus yang paling sederhana, pada validitas modus inferensi sesuai, yang ,
untuk himpunaniap pernyataan yang berisi nomor-teori variabel, baik pernyataan
tersebut benar untuk semua nilai dari variabel atau terdapat nomor yang salah.
Hilbert dirasakan bahwa prinsip dikecualikan tengah merupakan konsekuensi logis
dari c-aksioma dan tidak pernah belum menyebabkan kesalahan sedikit pun,
melainkan, apalagi, begitu jelas dan dipahami bahwa penyalahgunaan yang
menghalangi. Menurut Hilbert, khususnya, prinsip dikecualikan tengah tidak
disalahkan sedikit pun untuk terjadinya terkenal paradoks dari teori himpunan,
melainkan paradoks ini adalah karena hanya untuk pengenalan gagasan dapat
diterima dan tak berarti, yang secara otomatis dikeluarkan dari bukti teori
saya. Hilbert menunjukkan bahwa Adanya bukti dilakukan dengan bantuan prinsip
dikecualikan tengah biasanya sangat menarik karena singkatnya mengejutkan
mereka dan keanggunan. Untuk Hilbert, mengambil prinsip tengah dikeluarkan dari
matematika akan sama, proscribing teleskop untuk astronomi atau untuk petinju
penggunaan tinjunya; untuk melarang pernyataan keberadaan dan prinsip
dikecualikan tengah sama saja dengan melepaskan ilmu matematika sama sekali.
Hilbert, D., 1972, bersikeras
bahwa jika kesimpulan logis adalah dapat diandalkan, harus dimungkinkan untuk
survei obyek sepenuhnya dalam semua bagian mereka, dan fakta bahwa mereka
terjadi, bahwa mereka berbeda satu sama lain, dan bahwa mereka mengikuti
himpunaniap
lain, atau adalah concatenated, adalah langsung, diberikan secara intuitif,
bersama dengan objek, adalah sesuatu yang tidak dapat dikurangi untuk hal lain
juga memerlukan reduksi. Hilbert menyarankan bahwa dalam matematika kita
mempertimbangkan tanda-tanda konkret sendiri, yang bentuknya, menurut konsepsi
kita telah mengadopsi, segera, jelas dan dikenali, ini adalah sangat sedikit
yang harus mensyaratkan, tidak ada pemikir ilmiah dapat membuang itu, dan
karenanya himpunaniap orang harus mempertahankan itu, secara sadar, atau tidak.
Hilbert, D., 1972, mengakui bahwa sementara itu ada banyak kesalahan ditemukan
dengan mereka, dan keberatan dari semua jenis sarang dibesarkan menentangnya,
dan dirasakan bahwa semua kritikus ia dianggap hanya sebagai tidak adil karena
dapat; ia mengklaim bahwa itu adalah bukti konsistensi yang menentukan lingkup
efektif teori bukti dan secara umum merupakan inti; metode W. Ackermann
memungkinkan perpanjangan diam. Dia menyatakan bahwa untuk dasar-dasar
pendekatan analisis biasa Ackermann telah dikembangkan begitu jauh sehingga
hanya tugas melaksanakan bukti murni matematis finiteness tetap. Hilbert
kemudian menyimpulkan bahwa hasil akhir adalah bahwa matematika adalah ilmu
pra-anggapan-kurang. Ia menegaskan bahwa untuk matematika ditemukan dia tidak
perlu Tuhan atau asumsi fakultas khusus pemahaman kita selaras dengan prinsip
induksi matematika Poincaré, atau intuisi primal Brouwer, atau, Russell dan
aksioma Whitehead tak terhingga, reducibility, atau kelengkapan, yang
sebenarnya adalah yang sebenarnya, menurut Hilbert, mereka contentual asumsi
yang tidak dapat dikompensasikan dengan bukti konsistensi.
Folkerts, M., 2004, merasa
terpengaruh oleh program Hilbert, menyatakan bahwa bagaimanapun, Formalisme
tidak tidak akan berlangsung lama. Pada tahun 1931 ahli matematika kelahiran
Austria Amerika dan ahli logika Kurt Gödel menunjukkan bahwa tidak ada sistem
jenis Hilbert di mana bilangan bulat bisa didefinisikan dan yang konsisten dan
lengkap. Kemudian Gödel dan, mandiri, ahli matematika Inggris Alan Turing
menunjukkan decidability yang juga tak terjangkau. Disertasi Gödel terbukti
kelengkapan orde pertama logika, bukti ini dikenal sebagai Teorema Kelengkapan
Gödel 's. Gödel juga membuktikan bahwa Hilbert benar tentang asumsinya bahwa
meta-matematika adalah bagian dari bagian nyata dari matematika; ia menggunakan
nomor teori sebagai contoh yang sepenuhnya beton dan kemudian menunjukkan
bagaimana menerjemahkan berbicara tentang simbol ke berbicara tentang angka.
Gödel ditugaskan kode untuk himpunaniap simbol sedemikian rupa bahwa yang
disebut Gödel-angka dikalikan bersama-sama mewakili formula, menetapkan
formula, dan hal lainnya dan kemudian seseorang dapat berbicara tentang
Gödel-nomor menggunakan nomor teori. Folkerts menunjukkan bahwa untuk membuat
Gödel-nomor untuk pernyataan dalam sistem formal, terlebih dahulu kita harus
menetapkan himpunaniap simbol bilangan bulat yang berbeda mulai dari satu,
kemudian menetapkan himpunaniap posisi dalam laporan bilangan prima
berturut-turut yaitu mulai dengan 3. Folkerts mencatat bahwa Gödel-nomor untuk
pernyataan itu adalah produk dari bilangan prima dibawa ke kekuatan nomor yang
ditetapkan ke simbol dalam posisi pernyataan; sejak nomor dua bukan merupakan
faktor dari jumlah Gödel-untuk sebuah pernyataan, semua pernyataan 'Gödel-angka
akan aneh. Folkerts menunjukkan bahwa Gödel-nomor untuk urutan laporan dibangun
dengan
mengalikan bilangan prima keluar berturut-turut, dimulai dengan, nomor dua
dibawa ke kuasa nomor Gödel-pernyataan yang muncul pada posisi dalam daftar.
Folkerts, M., 2004, mencatat
bahwa agar kita dapat memaknai teorema kita dapat menuliskan daftar kalimat
yang merupakan bukti tentang hal itu, sehingga Teorema Gödel 's-nomor kalimat
terakhir dalam bilangan genap Gödel dan ini mengurangi bukti theorems ke
properti nomor-teori yang melibatkan Gödel-angka dan konsistensi dapat
ditampilkan melalui nomor teori. Folkerts menunjukkan bahwa Gödel menunjukkan
sesuatu yang bisa kita mewakili dalam sistem formal dari sejumlah teori adalah
finitary. Gödel menunjukkan bahwa menurutnya jika S menjadi sistem formal untuk
nomor teori dan jika S adalah konsisten, maka ada kalimat, G, seperti bahwa
baik G maupun negasi dari G adalah Teorema dari S, dan dengan demikian,
himpunaniap sistem formal memadai untuk menyatakan theorems dari nomor teori
harus lengkap. Gödel menunjukkan bahwa S dapat membuktikan P (n) hanya dalam
kasus n adalah Gödel-nomor yang Teorema dari S; maka di sana ada k, sehingga k
adalah Gödel-jumlah rumus P (k) = G dan pernyataan ini kata dari dirinya
sendiri, tidak dapat dibuktikan. Menurut Gödel, bahkan jika kita mendefinisikan
sebuah sistem formal baru S = S + G, kita dapat menemukan G yang tidak dapat
dibuktikan di S, dengan demikian, S dapat membuktikan bahwa jika S adalah
konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan. Gödel menjelaskan bahwa jika S dapat
membuktikan cst (S), maka S dapat membuktikan G, tetapi jika S adalah
konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan
konsistensi. Dengan demikian, Program Hilbert tidak bekerja, satu tidak dapat
membuktikan konsistensi teori matematika. Namun, Folkerts menunjukkan bahwa
Gentzen melihat Teorema ketidaklengkapan Gödel dan bertanya-tanya mengapa
sistem formal untuk aritmatika sangat lemah bahwa itu tidak dapat membuktikan
konsistensi sendiri. Menurut Gentzen, penyempitan alami pada bukti adalah bahwa
mereka adalah daftar terbatas laporan, karena itu, Gentzen menawarkan teori
aritmatika yang kemudian memungkinkan bukti konsistensi dari sistem formal dari
aritmatika; di mana ia memperkuat aksioma induksi matematika , yang
memungkinkan sebuah aksioma induksi kuat. Sementara induksi tradisional
mengasumsikan domain memiliki tipe ketertiban; Namun Gentzen mengasumsikan
bahwa domain memiliki jenis, agar lebih rumit lebih tinggi.
Di sisi lain, Folkerts
menemukan bahwa Alan Turing mendefinisikan fungsi sebagai program untuk untuk
menghitung dengan mesin sederhana di mana fungsi ini sama dengan apa yang Gödel
pikirkan. Menurut Alan Turing, semua definisi dari fungsi yang berbeda dapat
dihitung dengancara membuat himpunan yang sama dengan fungsi yang ada. Fungsi
dapat dihitung karena yang paling banyak cara untuk program mesin Turing dan
jumlah fungsi yang mungkin dapat ditetapkan, sehingga fungsi dapat ditentukan
secara teoritis sebagai sebuah pengecualian. Alan Turing menunjukkan bahwa
fungsi adalah relasi yang tak terhitung yang menghasilkan output yang
tergantung pada variabel acak.
Podnieks, K., 1992, menyatakan
bahwa dalam hal paradoks Himpunan dari Russell, maka penyelesaiannya dapat
diturunkan dari himpunan yang bukan anggota sendiri. Podnieks, K., 1992,
menunjukkan bahwa teori tersebut sekarang sedang ditantang sebagai teori dasar
matematika dan teori kategori diusulkan sebagai pengganti, dalam teori
kategori, dikembangkan pengertian dasar fungsi dan operasi. Namun, Posy, dalam
hal pertanyaan
ontologis,
bertanya-tanya seberapa akurat gagasan bahwa himpunan adalah objek dasar
matematika, sedangkan teori yang dihimpun terlalu kaya dan ada cara yang
berbeda terlalu banyak untuk membangun matematika. Posy berpendapat bahwa
elemen dasar tidak boleh sembarang dipilih, namun tidak menentukan pilihannya,
dan menunjukkan bahwa, dalam pandangan modern tentang strukturalisme, unit
dasar adalah struktur, yang bukan benar-benar objek. Folkerts, M, 2004,
bersikeras bahwa program Hilbert masih memiliki pembagian antara bagian real
dan ideal matematika, ia khawatir tentang status ontologis dari objek di bagian
ideal matematika dan mereka hanya diciptakan untuk memberikan bagian yang
ideal, dan memberi kita jalan pintas, tetapi tidak pernah diyakini menjadi
bagian dari realitas. , Dan dia bertanya-tanya tentang sumber pengetahuan
matematika dan kebenaran matematika yang meliputi adanya objek yang ada, dan
benda-benda yang tidak ada: dia juga peduli bahwa ini memberi kita sebuah dunia
dari obyek virtual, menyelesaikan dualisme objek Folkerts. Namun, seperti
Folkerts katakan, Paulus Benacerraf menjelaskan dilema ini dengan memberikan
pertanyaan-pertanyaan tentang teori standar kita tentang pengetahuan atau
kebenaran; menurut Benacerraf, ada semacam teori korespondensi antara
pengetahuan kita dengan benda-benda sehingga membangun kemampuan kognitif kita
melalui indera kita, dan kita membentuk kepercayaan melalui interaksi
sebab-akibat antara objek yang kita pikirkan dengan pikiran kita; di mana kaum
formalis dan kaum Platonis mengalami kesulitan melengkapi tentang hal ini.
Stefanik, R., 1994, bersikeras
bahwa menurut Bernaceraf, ini menyebabkan strukturalisme menganggap bahwa
bilangan asli, adalah bentuk urutan, oleh karenanya, jika matematika
benar-benar abstrak, mengapa harus memiliki penerapan tertentu? Apakah hanya
sebuah "keajaiban" bahwa matematika berlaku untuk dunia fisik, atau,
sebaliknya, kita cenderung menekankan struktur matematika yang berhubungan
dengan dunia? Hal ini dipersulit dengan berbagai aplikasi baru untuk metode
matematika, misalnya penerapan teori grup untuk linguistik. Selanjutnya, Posy
mencatat bahwa kaum strukturalis berpendapat bahwa matematika bukanlah tentang
beberapa himpunan tertentu dari objek abstrak melainkan matematika adalah ilmu
tentang pola struktur, dan benda-benda tertentu yang relevan dengan matematika
sejauh mereka memenuhi beberapa pola atau struktur. Posy bersikeras bahwa
berbagai versi strukturalisme telah diusulkan oleh matematikawan smisalnya
Benacerraf, Resnik, Shapiro, dan Hellman. Benacerraf, seperti yang menyatakan
oleh Stefanik, R., 1994, berpendapat untuk posisi strukturalis dengan terlebih
dahulu menyajikan contoh di mana kaum Logicist bersifat sangat militan, seperti
Ernie dan Johnny, pertama belajar teori logika dan himpuna dan bukan belajar
teori bilangan. Benacerraf mengatakan: Ketika datang untuk belajar tentang
angka, mereka hanya belajar nama-nama baru untuk himpunan dan anggotanya.
Mereka menghitung anggota dari suatu himpunan dengan menentukan kardinalitas
dari himpunan, dan mereka menetapkan ini dengan menunjukkan bahwa terdapat
hubungan khusus antara himpunan dan angka.
Stefanik, R., 1994, menunjukkan
bahwa Benacerraf berpendapat bahwa keyakinan Frege berasal dari ketidakkonsistenannya,
karena semua benda alam semesta adalah himpunan. Pertanyaan apakah dua nama
memiliki referen yang sama selalu memiliki nilai kebenaran?, Namun, kondisi
membuat identitas hanya dalam konteks di mana terdapat kondisi yang unik.
Benacerraf
menyatakan bahwa jika sebuah kalimat "x = y" adalah Benar, hal ini
dapat terjadi hanya dalam konteks di mana jelas bahwa kedua x dan y adalah
Benar. Stefanik bersikeras bahwa pencarian untuk objek dasar alam semesta yang
matematis, adalah usaha yang keliru yang mendasari teori kaum Absolutist dan
pengikut filsafat platonis. Ia mencatat bahwa hal ini tidak menggoyahkan
pendirian Benacerraf; karena menurut Stefanik, Benacerraf masih menegaskan
logika yang kemudian dapat dilihat sebagai logika yang paling umum dari
disiplin ilmu, yang berlaku dengan cara yang sama untuk dan dalam teori yang
diberikan.
Thompson, P., 1993, menyatakan
bahwa para filsuf matematika memiliki, selama ribuan tahun, berulang kali
keterlibatan dalam perdebatan tentang paradoks dan kesulitan mereka dalam
melihat fenomena yang muncul dari tengah-tengah keyakinan mereka yang kuat dan
intuitif. Dari munculnya Geometri non-Euclidean, analisis teori kontinum, dan
penemuan Cantor tentang bilangan transfinite, sistem Frege, matematikawan
kemudian menyuarakan keprihatinan mereka bagaimana kita secara serampangan
telah memikirkan sesuatu yang asing, dan dengan liar memperpanjang persoalan
matematika kita dengan intuisi, atau kalau tidak kita telah menjadi rentan
terhadap perangkap yang tak terduga dan sampai sekarang, dengan apa yang
disebut kontradiksi. Thompson menunjukkan bahwa di jantung perdebatan ini
terletak tugas mengisolasi intuisi macam apa, dan memutuskan kapan kita harus
sangat berhati-hati bagaimana menerapkannya, namun, mereka yang mencari
kepuasan dasar epistemologis tentang peran intuisi dalam matematika sering
dihadapkan dengan pilihan yang tidak menarik, antara metafisika yang berasal
dari Brouwer, dan pengakuan mistis Gödel dan Platonis bahwa kita secara
intuitif dapat membedakan ranah kebenaran matematika. Hal ini menunjukkan
bahwa, dalam hal dasar, matematika dianggap sebagai ilmu logis, bersih
terstruktur, dan cukup beralasan atau singkatnya dalam matematika adalah ilmu
logis yang sangat terstruktur, namun jika kita menggali cukup dalam dan dalam
penyelidikan yang mendalam, kita masih menemukan beberapa hal yang menjadi
perdebatan filsafat. Ini adalah kenyataan bahwa, dalam hal sejarah matematika,
berbagai macam sejarah matematika yang datang, dimulai di Yunani kuno, berjalan
melalui pergolakan menuju masa depan yang keluar, sedangkan dalam hal sistem
pondasi logis matematika, metode matematika adalah deduktif, dan oleh karena
itu logika memiliki peran mendasar dalam pengembangan matematika.
Beberapa masalah masih muncul:
dalam hal makna, kita bertanya-tanya tentang penggunaan bahasa khusus untuk
berbicara tentang matematika, apakah bahasa matematika merupakan hal-hal aneh
dan muncul dari dunia ini dan apa artinya semua ini, dan kemudian, apakah arti
hakikinya? kita mungkin bertanya-tanya apakah matematikawan berbicara tentang
hal yang aneh, apakah mereka benar-benar ada, dan bagaimana mereka dapat kita
katakan atau apakah yang dikatakannya penting?. Secara epistemologis,
matematika telah sering disajikan sebagai paradigma ketepatan dan kepastian,
tetapi beberapa penulis telah menyarankan bahwa ini adalah ilusi belaka.
Bagaimana kita bisa mengetahui kebenaran dari proposisi matematika, dan dalam
hal aplikasi, bagaimana pengetahuan matematika yang abstrak dapat diterapkan di
dalam dunia nyata? Apa implikasi untuk matematika dari adanya revolusi
informasi;? Dan apa yang bisa matematika kontribusikan?. Thompson, P., 1993,
bersikeras bahwa analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis
dari "intuisi" yang fundamental terhadap
dugaan
dan penemuan dalam matematika, dengan kepastian epistemis dari peran intuitif
proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan
bahwa sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman
kita, dan dengan kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.
Litlangs 2004, menyitir
ketidaksetujuan Aristoteles terhadap Plato; menurut Aristoteles, bentuk fisik
tidaklah jauh berbeda dengan penampilannya tetapi sesuatu yang konkrit sajalah
yang menjadi benda-benda dunia. Aristoteles menyatakan bahwa ketika kita
mendapatkan sesuatu yang abstrak, bukan berarti bahwa abstraksi merupakan
sesuatu yang jauh dan abadi. Bagi Aristoteles, matematika adalah hanya
penalaran tentang idealisasi, dan ia melihat dekat pada struktur matematika,
membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk menunjukkan teorema, definisi
dan hipotesis. Plato juga tercermin pada tak terhingga, memahami perbedaan
antara potensi tak terbatas misalnya menambahkan satu ke bilangan infinit
misalnya tak terbatas. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa kedua intuisionis dan
formalis meyakinkan bahwa matematika hanyalah penemuan dan mereka melakukannya
dengan tidak menginformasikan kepada kami dengan apa-apa tentang dunia;
keduanya mengambil pendekatan ini untuk menjelaskan kepastian mutlak matematika
dan menolak penggunaan bilangan infinit. Bold mencatat bahwa intuitionists
mengakui hal ini kesamaannya dengan formalis dan menganggap perbedaan yang ada
sebagai perbedaan pendapat di mana ketepatan matematis memang ada; intuisionis
mengatakannya sebagai kecerdasan manusia dan formalis mengatakannya sebagai
hanya coretan di atas kertas. Menurut Arend Heyting, matematika adalah produksi
dari pikiran manusia; ia mengklaim intuitionism yang mengklaim proposisi
matematika mewarisi kepastian mereka dari pengetahuan manusia yang didasarkan
pada pengalaman empiris. Bold menyatakan bahwa sejak, infinity tidak bisa
dipakai, intuisionis menolak untuk mendorong penerapan matematika di luar
infinisitas; Heyting menyatakan adanya keyakinan terhadap transendental, yang
tidak didukung oleh konsep, dan harus ditolak sebagai alat bukti matematika.
Demikian pula, Bold menemukan bahwa Hilbert menulis bahwa untuk kesimpulan
logis yang dapat diandalkan itu harus memungkinkan untuk untuk dilakukannya
survei terhadap kebenaran obyek dan bagian-bagiannya, karena tidaklah ada
survei untuk infinity yang dapat disimpulkan dengan hanya mengandalkan pada
sistem yang terbatas. Menurut formalis, seluruh matematika hanya terdiri dari
aturan sembarang seperti yang catur.
Di sisi lain, Posy, C., 1992,
menemukan bahwa Hilbert benar-benar menempatkan struktur pada bagian intuitif
matematika, pada dasarnya bahwa pemikiran finitary dan sistem formal; dengan
pekerjaan Gödel 's. Thompson, P., 1993, berpendapat bahwa Gödelian Platonisme,
khususnya, yang memimpin pengalaman aktual melakukan matematika, dan bilangan
Gödel untuk kejelasan dari himpunan-aksioma dasar teoritis dengan mengajukan
suatu kemampuan intuisi matematika, analog dengan persepsi indrawi dalam fisika,
sehingga, mungkin, aksioma 'dipaksakan kepada kita' sebanyak asumsi kekuatan
'diantara obyek fisik' sendiri kepada kita sebagai penjelasan dari pengalaman
fisik kita. Namun, Thompson sebaliknya menyatakan bahwa telah mengakui peran
keragu-raguan dalam penggunaan bahasa yang bila diterapkan pada prinsip
matematika menjadi aneh tapi nyata; berlawanan dengan apa-apa yang terdapat
pada kontinum dari intuitif palsu dan mencegah intuitif yang benar benar,
tergantung
pada kekuatan dugaan kita akan lebih cenderung untuk membuat menentangnya, jika
kita tidak melihatnya, dan telah dimenangkan oleh, buktinya, dan memang, untuk
mengejutkan kita, kita sering menemukan, pada saat kita menjumpai paradoks,
bagaimana intuisi kita lemah dan tak berdaya. Thompson menyatakan bahwa gagasan
tentang intuisi kita yang harus baik, tegas dan benar, berasal teori yang
menyatakan bahwa kemampuan indera merupakan kemampuan primitif yang diwariskan
dari gaya filsafat Rene Descartes yang mencari kebenaran absolut tentang segala
sesuai yang tidak tergoyahkan, yang telah menolak semua pembenaran lainnya
kecuali kebenaran diriyang menemukan bahwa dirinya yang ada adalah dirinya yang
sedang memikirkannya.
Di sisi lain, Posy, C., 1992,
bersikeras bahwa sistem formal Hilbert sesuai dengan teori fungsi rekursif.
Posy bersikeras bahwa Brouwer itu sangat menentang ide-ide ini, terutama sistem
yang berpondasi, ia bahkan menentang formalisasi logika; Brouwer memiliki
pandangan yang sangat radikal tentang matematika dan hubungannya dengan bahasa.
Menurut Brouwer, dalam bahasa, kita dapat berkomunikasi output dari konstruksi
matematika, sehingga membantu orang lain menciptakan pengalaman matematika,
namun bukti itu sendiri adalah pra-linguistik, aktivitas murni sadar yang jauh
lebih fleksibel daripada bahasa. Brouwer berpikir bahwa sistem formal tidak
pernah bisa cukup untuk menutup semua pilihan yang tersedia untuk matematika
secara kreatif, dan berpikir bahwa formalisme tidak ada gunanya. Posy mencatat
bahwa, khususnya, Brouwer berpikir bahwa hal demikian bukanlah suatu kegilaan
untuk berpikir bahwa logika digunakan untuk menangkap aturan untuk berpikir
matematis secara benar. Brouwer menunjukkan aturan tertentu bahwa logika tidak
memadai untuk mengembangkan metode berpikir dengan menunjuk hukum tengah yang
dikecualikan.
Thompson, P., 1993, mencatat
bahwa pandangan Brouwer tersebut dikarenakan kepercayaannya bahwa penerapan
logika tradisional ke matematika merupakan fenomena sejarah, ia selanjutnya
menyatakan bahwa oleh fakta bahwa, pertama, logika klasik disarikan dari
matematika yang merupakan himpunan dari himpunan maka pastilah terbatas, kedua,
bahwa eksistensi apriori independen dari matematika dianggap berasal dari
logika ini, dan akhirnya, atas dasar bahwa keyakinan apriori, maka logika tidak
dibenarkan diterapkan pada matematika. Selanjutnya, Posy, C., 1992, menambahkan
bahwa Brouwer bersikeras tentang hipotesisnya mengapa filsuf dan ahli
matematika perlu mengecualikan hukum tengah; menurut Brouwer, logika telah
dikodifikasikan ketika komunitas ilmiah hanya peduli dengan benda-benda
terbatas. Brouwer mengatakan bahwa, mengingat hanya benda terbatas, hukum maka
hukum tengah perlu dikecualikan, namun kesalahan itu dibuat saat matematika
pindah ke infinitary di mana aturan-aturan kaku logika dipertahankan tanpa
pertanyaan. Brouwer menyatakan bahwa tidak ada kodifikasi kaku harus datang
sebelum pengembangan matematika. Posy menemukan bahwa perbedaan utama antara
Brouwer dan Hilbert adalah bahwa mereka tidak setuju pada posisi logika di mana
Hilbert pikir logika adalah ilmu pengetahuan, jadi yang otonom dapat secara
bebas diterapkan pada matematika lain, sedangkan Brouwer berpendapat tidak
demikian.
Litlangs, 2004, menyatakan
bahwa pertanyaan-pertanyaan mendalam tentang bagaimana variasi kecerdasan menghadapi
kesulitan dalam menjelaskan matematika secara internal yaitu kesenjangan
mereka, kontradiksi dan ambiguitas yang terletak di bawah sebagian tertentu
dari
prosedur, mengarah pada kesimpulan kasar bahwa matematika mungkin tidak lebih
logis dari puisi, melainkan hanya kreasi bebas dari pikiran manusia yang tidak
bertang-gungjawab untuk memaknai diri kita dan alam. Litlangs menyatakan bahwa
meskipun matematika mungkin tampak sebagai jenis pengetahuan yang paling jelas
dan tertentu dari pengetahuan yang kita miliki, ada masalah cukup serius yang
terdapat di setiap cabang lain dari filsafat tentang hakekat matematika dan
makna proposisi tersebut. Litlangs menemukan bahwa Plato percaya dalam bentuk
atau ide yang kekal, mampu mendefinisikan dengan tepat dan bebas dari persepsi;
antara entitas dan objek geometri seperti garis, titik, lingkaran, yang karena
itu tidak ditangkap dengan indra tetapi dengan logika, ia berhubungan dengan
obyek-obyek matematika dengan contoh-contoh spesifik dari bentuk ideal. Menurut
Plato, seperti yang dicatat oleh Litlangs, proposisi matematika yang sejati
dari hubungan antara obyek tak berubah, mereka pasti benar yang menemukan
matematika yang sudah ada sebagai kebenaran "di luar sana" daripada
menciptakan sesuatu dari mental kita sebagai kecenderungan, dan sebagai objek
yang dirasakan oleh indera kita, mereka hanya merupakan contoh dan cepat
berlalu dari ingatan kita.
Sementara itu, Litlangs 2004,
menambahkanbahwa bahwa Leibniz menganggap bahwa logika berjalan bersamaan
dengan matematika, sedangkan Aristoteles menggunakan proposisi dari bentuk
predikat, yaitu subjek dari logika, Leibniz berpendapat bahwa subjek berisi
predikat yang adalah sifat yang tak terbatas yang diberikan oleh Tuhan. Menurut
Leibniz, proposisi matematika tidaklah benar jika mereka berurusan dengan
entitas kekal atau ideal, tetapi karena penolakan mereka secara logika tidak
mungkin, maka proposisi matematika adalah benar tidak hanya untuk dunia ini,
tetapi juga untuk semua kemungkinan yang ada. Litlangs menyatakan bahwa tidak
seperti Plato, yang menanyakan untuk apalah sebuah bentuk fisik itu, sementara
Leibniz melihat pentingnya notasi, sebagai sebuah simbolisme perhitungan, dan
menjadi permulaan dari metode untuk membentuk dan mengatur karakter dan tanda-tanda
untuk mewakili hubungan antara pikiran matematika.
Litlangs 2004, mengungkapkan
lebih lanjut bahwa Immanuel Kant menganggap entitas matematika sebagai
proposisi sintetik apriori-, yang tentu saja memberikan kondisi yang diperlukan
untuk pengalaman objektif; matriks ruang dan waktu, dan wadah memegang bahan
pengubah persepsi. Menurut Kant, matematika adalah gambaran ruang dan waktu,
jika terbatas pada pikiran, konsep-konsep matematika diperlukan hanya
konsistensi diri, tapi pembangunan konsep-konsep tersebut melibatkan ruang yang
memiliki struktur tertentu, yang oleh Kant digambarkan pada geometri Euclidean.
Litlangs mencatat bahwa bagi Kant, perbedaan antara "dua" yang
abstrak "dua piring" adalah tentang konstruksi logika ditambah masalah
empiris. Dalam analisisnya tentang infinitas, Kant menerima pembedaan
Aristoteles antara potensi tak terbatas dan potensi lengkap, tapi tidak
menganggap keduanya adalah mustahil. Kant merasa bahwa tak terhingga lengkap
adalah gambaran tentang alasan, secara internal konsisten, meskipun tentu saja
tidak pernah ditemui di dunia persepsi kita. Litlangs lebih lanjut menegaskan
bahwa Frege dan Russell dan pengikut mereka mengembangkan gagasan Leibniz bahwa
matematika adalah sesuatu yang secara logis tak terbantahkan; Hukum Frege
menggunakan logika ditambah definisi, dan merumuskan notasi simbolis untuk
alasan yang diperlukan. Namun, melalui rantai panjang penalaran, simbol-simbol
ini menjadi
kurang
jelas, dan merupakan transisi yang dimediasi oleh definisi. Litlangs mencatat bahwa
Russell melihat mereka sebagai kemudahan notasi, langkah hanya dalam argumen,
sedangkan Frege melihat mereka sebagai menyiratkan sesuatu yang layak dari
pemikiran yang cermat, sering menyajikan konsep-konsep matematika penting dari
sudut yang baru. Litlangs menemukan bahwa sementara dalam kasus Russell
definisi tidak memiliki eksistensi objektif, dalam kasus Frege masalah ini
tidak begitu jelas bahwa adalah definisi adalah objek logis yang mengklaim
keberadaan sama dengan entitas matematika lainnya. Litlangs menyimpulkan bahwa,
meskipun demikian, Russell menyelesaikan banyak paradoks untuk membuat siatem
Whitehead sebagai deskripsi yang monumental dari Principia Mathematica.
Sementara itu, Thompson, P.,
1993, yang merasa terpengaruh gerakan kritis dari Cauchy dan Weierstrass telah
menjadi hati-hati tentang penggunaan matematika yang tak terbatas, kecuali
sebagai Facon de Parler dalam menyimpulkan teori atau mengambil batas, di mana
matematika benar-benar dianggap berfungsi sebagai metafora, atau kiasan, untuk
menyatakan keadaan secara terbatas. Thompson ingin membandingkan antara
penyanyi dengan kerja seorang matematikawan Leopod Kronecker. Matematikawan
Jerman Leopold Kronecker, yang sudah memiliki pengetahuan matematika kemudian
berkehendak untuk menulis ulang teori algebraic, dan bertujuan untuk
menjatuhkan keyakinan Cantor itu, tentang logika yang selama ini dia yakini
tentang penyelesaian tak terbatas yang sempurna signifikan. Menurut Thompson,
penyanyi telah mendesak lebih lanjut bahwa kita harus sepenuhnya siap untuk
menggunakan kata-kata yang akrab dan lazim dalam konteks yang sama sekali baru,
atau dengan mengacu pada situasi yang sebelumnya dengan tidak
mempertimbangkannya terlebih dulu; bahwa penyanyi telah dengan membabi buta
membuat skema terbatas dalam domain tak terbatas, baik dengan cara
menghubungkan kardinal atau kuantitas dalam himpunan terbatas atau tak
terbatas. Thompson bersikeras bahwa meskipun dia mengakui kerja matematika
menggunakan intuisi, tetapi adalah penting untuk membuat pendekatan pendekatan
heuristik.
Thompson, P., 1993, menjelaskan
bahwa Gödel berpendirian bahwa intuisi kita dapat digunakan untuk bekerja dalam
domain yang sangat aksiomatis, seperti perpanjangan ZF, atau kalkulus, sehingga
memungkinkan kita untuk membuat pertimbanganyang baik untuk menerima atau
menolak hipotesis secara independen dari pra-teori atau praduga tentang teori.
Thompson menunjukkan bahwa Gödel dan Herbrand, secara bersama-sama membuat
klaim tentang demarkasi batas-batas kemampuan intuisi. Thompson menyimpulkan
bahwa Gödel, dengan kemampuannya dalam logika transendental, senang berpikir
bahwa logika kita hanya sedikit tidak fokus, dan berharap bahwa terdapat
kesalahan kecil sehingga masih mampu melihat secara tajam dan mampu berpikir
matematika secara benar. Namun untuk hal ini, dia berbeda pandangan dengan
Zermelo dan Hilbert. Thompson menyatakan bahwa Hilbert tidak akan dapat
meyakinkan kita bahwa matematika itu bersifat konsistensi untuk selamanya,
karena itu kita harus puas jika sistem aksiomatis matematika seperti yang dibuat
Hilbert dianggap konsisten, jika kita tidak mampu membuktikannya.
Sementara itu, Turan, H., 2004,
menjelaskan bahwa Descartes membawa proposisi matematika ke dalam keraguan saat
ia meragukan semua keyakinan tentang hakekat akal sehat dengan mengasumsikan
bahwa semua keyakinan berasal dari persepsi tampaknya hanya
sampai
pada anggapan awal bahwa masalah yang dihadapinya sebetulnya adalah suatu
keraguan tentang matematika, yaitu sebuah contoh dari masalah keraguan tentang
keberadaan zat. Turan berpendapat bahwa masalahnya bukan apakah kita menghitung
objek atau gambar yang sebenarnya kosong tapi apakah kita menghitung apa yang
kita menghitung dengan benar, ia berpendapat bahwa karya Descartes adalah
mungkin untuk mengekspos bahwa proposisi '2 +3 = 5 'dan argumen' Saya berpikir,
maka saya ada, "sama-sama jelas. Menurut Turan, Descartes tidak menemukan
epistemologinya pada bukti proposisi matematika, dan percobaan keraguan
tampaknya tidak memberikan hasil positif untuk operasi matematika. Menurut Turan,
kesadaran melaksanakan proposisi matematika yang tidak boleh untuk
meragukannya, dan kesadaran melakukan operasi matematika atau logika adalah
contoh dari "saya berpikir" dan karenanya argumen "Saya
menghitung, karena itu aku ada 'setara dengan' Saya pikir , maka saya ada '.
Turan menunjukkan bahwa jika kita berpendirian bahwa proposisi matematika tidak
bisa menimbulkan kesulitan bagi epistemologi Descartes yang menurutnya untuk
membangun pada kesadaran berpikir sendiri, maka dia tidak dapat dilihat untuk
menghindari pertanyaan. Turan menyimpulkan bahwa proposisi matematika dengan
sendirinya tidak bermanfaat jika mereka tidak boleh diragukan. Jika semua
proposisi matematika kemudian dapat diragukan oleh Rene Descartes, maka seluruh
logika umum tentunya juga akan diragukannya. Maka Rene Descartes kemudian
menemukan bahwa hanya terdapat satu saja hal yang tidak dapat diragukan yaitu
kenyataan bahwa dirinya itulah yang sedang meragukan. Oleh karena itu dia
menyimulkan bahwa dia ada karena berhasil meragukannya. Atau cogito ergosum,
saya berpikir maka saya ada. Tetapi kemudian Rene Descartes menemukan kenyataan
bahwa dia tidak mampu menjawab semua keraguan tersebut, maka dia menemukan
bahwa manusia, termasuk dia, adalah terbatas. Kemudian dia menyimpulkan
pastilah ada yang tak terbatas, yaitu diri Tuhan YME.
Turan, H., 2004, bersikeras
bahwa hubungan antara persepsi dan matematika dapat disangkal, bagaimanapun
membatasi pikiran kita dengan konteks dimana pengandaian ontologis filosofis
untuk refleksi pada persepsi dipertaruhkan; menurut dia, kita harus mencatat
pentingnya persepsi terhadap sifat eksistensi yang Descartes menganggap
terutama untuk tujuan epistemologis. Turan mencatat bahwa Descartes tampaknya
meninggalkan argumen bahwa Tuhan menipu untuk asumsi himpunan dan ini hipotesis
terakhir tampaknya untuk memanggil ke dalam keraguan eksklusif keyakinan
terkait dengan keberadaan dunia luar, karena itu, adalah mungkin untuk
menyatakan bahwa Descartes menyerah dalam mengejar pertanyaan tentang kebenaran
penilaian matematika, dan Descartes tampaknya memberkati adanya si jenius jahat
yang semata-mata dengan kekuatannys menipu pikirannya dalam hal yang berkaitan
dengan penilaian pada keberadaan hal-hal eksternal. Turan menemukan bahwa
Descartes selalu menganggap demonstrasi matematika antara kebenaran yang paling
jelas bahwa pikiran manusia dapat mencapai, dan menyebut mereka sebagai contoh
benda yang dapat berintuisi jelas dan jelas; Descartes merasa bahwa aritmatika
dan geometri bebas dari segala noda kepalsuan atau ketidakpastian. Menurut
Descartes, matematika yang bersangkutan dengan obyek begitu murni dan sederhana
bahwa mereka tidak membuat asumsi bahwa pengalaman mungkin membuat tidak pasti,
melainkan terdiri dalam menyimpulkan kesimpulan melalui argumen rasional.
Selanjutnya,
Turan, H., 2004, bersikeras bahwa Descartes memakai eksistensi eksternal suatu
obyek, untuk melakukan kegiatan deduksi dan intuisi sebagai metode yang sah
untuk memperoleh pengetahuan. Bagi Descartes, intuisi adalah konsepsi pasti
yang sederhana dari pikiran yang jernih dan penuh perhatian yang berlangsung
semata-mata dari cahaya argumen dan pada kepercayaan lebih pasti dari deduksi,
tapi pemikiran yang tidak epistemologis akan kalah dengan intuisi manusia yang
penuh perhatian. Descartes mengklaim bahwa meskipun matematika secara ekstensif
menggunakan metode deduksi, namun dia mengatakan bahwa deduksi adalah metode
tunggal yang sah dan memegang intuisi yang sangat diperlukan sebagai alat untuk
memperoleh pengetahuan matematika, dan proposisi matematika memiliki tingkat
yang sama dengan kepastian sebagai argumen cogito ontologis yang pasti. Bagi
Descartes matematika adalah invariabel sehubungan dengan pengandaian ontologis,
tapi begitu dibawa ke dalam konteks percobaan keraguan terlihat bahwa itu mengandung
implikasi ontologis penting yang tampak sebagai objek matematika dan operasi
mengandaikan eksistensi. Lalu Descartes menyatakan bahwa:
Saya merasa bahwa saya
sekarang ada, dan ingat bahwa saya telah ada selama beberapa waktu, apalagi,
saya memiliki pikiran berbagai yang saya bisa menghitung, melainkan dalam
cara-cara yang saya mendapatkan ide-ide dari durasi dan jumlah yang saya
kemudian dapat ditransfer ke lain hal. Adapun semua elemen lain yang membentuk
ide-ide dari hal-hal jasmani, yaitu perluasan, bentuk, posisi dan gerakan, ini
tidak secara resmi terdapat dalam saya, karena saya hanyalah menjadi pemikiran,
tetapi karena mereka hanya mode suatu zat dan saya substansi, tampaknya mungkin
bahwa mereka yang terkandung dalam diriku nyata. Selanjutnya, Turan, H., 2004, menegaskan bahwa
ketergantungan fungsional dan ontologis jumlah dan universal lain, membuat
cogito di mana sebuah contoh pemikiran di mana kedua bukti dan kepastian
ontologis dapat dicapai dalam satu langkah; epistemologis sebelum proposisi
matematika yang mungkin , itu dianggap terpisah dari konteks percobaan keraguan
dan terlihat untuk mewujudkan bukti. Menurut Turan, "saya menghitung,
karena itu aku 'adalah epistemologis setara dengan' Saya berpikir, maka saya ';
kedua argumen kebal untuk diragukan, namun si jenius jahat memang bisa membuat
saya salah karena saya menghitung pikiran saya atau penampilan, tetapi tidak
bisa menipu saya dalam kesimpulan saya menarik adanya fakta bahwa saya
menghitung sudah cukup untuk membuktikan bahwa aku ada terlepas dari apakah
saya menghitung atau menambahkan atau melakukan operasi matematika secara
keliru. Turan menyimpulkan bahwa situasi ontologis didirikan oleh eksperimen
keraguan Cartesian telah membawa kendala epistemologis yang serius; eksperimen
menemukan bahwa sarana epistemologis memungkinkan kita untuk mempekerjakan
untuk pindah secara ontologis lebih lanjut, tentulah harus menjadi salah satu
sumber daya yang tepat dari situasi ontologis yang telah membatasi dirinya
untuk tujuan epistemologis, dalam kata lain, standar epistemologis eksperimen
harus sesuai dengan yang ditentukan oleh pengaturan ontologis percobaan
keraguan. Turan mencatat bahwa eksperimen menemukan nya sendiri dengan hal-hal
yang bisa kita sebut persepsi atau pikiran, di sebuah sudut pandang dari mana
dia membuktikan kejadian persepsi dan pikiran dan tidak bisa tahu dengan baik
bagaimana mereka dibeli, sedangkan Descartes karena itu bisa tergantung hanya
pada berpikir bahwa ia memiliki persepsi atau pikiran dalam penyelidikan epistemologis
untuk
mendirikan sebuah kepastian yang tidak dapat dipengaruhi oleh argumen dari
percobaan keraguan.
Podnieks, K., 1992, menguraikan
bahwa sebelum Kant, matematika dipandang sebagai dunia empiris, tetapi khusus
dalam satu cara penting yang sifat yang diperlukan dunia ditemukan melalui
bukti matematika, namun untuk membuktikan sesuatu yang salah, seseorang harus
menunjukkan hanya bahwa dunia mungkin berbeda. Dalam hal masalah epistemologis,
Posy diberitahu bahwa ilmu pada dasarnya merupakan generalisasi dari
pengalaman, tetapi hal ini dapat memberikan hanya pilihan saja, sifat yang
mungkin dari dunia yang itu bisa saja sebaliknya. Di sisi lain, ilmu
pengetahuan hanya memprediksi bahwa masa depan akan mencerminkan masa lalu,
sedangkan matematika adalah tentang dunia empiris, tetapi biasanya metode untuk
pengetahuan berasal dari pengetahuan kontingen, bukan keharusan bahwa
matematika murni memberi kita, dalam jumlah, Posy menyimpulkan bahwa Kant ingin
pengetahuan yang diperlukan dengan pengetahuan empiris. Posy kemudian
menguraikan langkah yang dilakukan oleh Kant dalam memecahkan masalah dalam
beberapa langkah: pertama, bahwa obyek dalam dunia empiris merupakan penampakan
atau fenomena di mana, secara alami, mereka hanya memiliki sifat bahwa kita mengenal
mereka dari pengalaman, mereka bukanlah hal dalam diri mereka. Posy menemukan
bahwa Kant mengatakan kita harus menjadi seorang idealis di mana sifat dari
obyek adalah hanya apa yang dipahami, tidak ada sifat obyek yang berada diluar
pengalaman kita. Kedua, Kant menyarankan untuk membangun ke dalam pikiran kita
dua bentuk intuisi dan persepsi sehingga setiap persepsi yang kita miliki
adalah terbentuk oleh bentuk Ruang dan Waktu, menurut Kant,ini, sebenarnya,
bagian dari pikiran, dan bukan sesuatu pikiran mengambil dari pengalaman; dan
dengan demikian, objek empiris selalu bersifat spasio-temporal.
Selanjutnya, Posy, C., 1992,
menunjukkan bahwa, menurut Kant, kita mengenal sifat spasio-temporal dengan
cara a priori, dan dalam mempelajari sifat spasio-temporal, kita hanya
mempelajari diri kita sendiri, dan kemampuan persepsi kita. Menurut Kant,
matematika hanyalah ilmu yang mempelajari sifat spasio-temporal dari objek
dengan mempelajari sifat ruang dan waktu; dan dengan demikian, matematika
adalah belajar dari bentuk abstrak persepsi. Dalam hal ide ke takhinggan maka
hukum-hukumnya tidak tunduk pada persepsi, Kant, seperti yang ditunjukkan oleh
Posy, membuat perbedaan antara intuisi empiris yaitu intuisi dari indera yang
selalu terbatas dan intuisi murni. Posy menunjukkan bahwa studi tentang
kemungkinan intuisi empiris di mana batas yang terbatas tidak diperkenalkan di
kedua arah, dan matematika tidak menangani hal ini. Menurut Kant matematika
memungkinkan membagi interval kecil dan perluasan interval besar, ini berarti
kita bisa mendiskusikan jumlah yang lebih kecil dan lebih kecil tanpa
memperkenalkan jumlah terkecil misalnya jika kita ingin membuktikan interval
ini dibagi, kita dapat melakukan ini dengan memilih interval; menunjukkan itu
habis dibagi, dan abstrak dari ukuran sebenarnya, dan biarkan mewakili gagasan
interval dipahami.
Kant menyatakan bahwa
matematika murni, sebagai kognisi a priori, hanya mungkin dengan mengacu pada
benda selain yang diindra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak
sebuah intuisi murni (ruang dan waktu) yang a priori. Kant mengklaim bahwa ini
mungkin,
karena
intuisinya yang terakhir tidak lain adalah bentuk sensibilitas belaka, yang
mendahului penampilan yang sebenarnya dari objek, dalam hal ini, pada kenyataannya,
membuat mereka mungkin; namun ini merupakan kemampuan berintuisi a priori yang
mampu memahami fenomena non fisik. Kant menggambarkan bahwa dalam prosedur
biasa kita memerlukan pengetahuan geometri, bahwa semua bukti tentang
similaritas dari dua benda yang diberikan akhirnya akhirnya diperoleh; yang
ternyata tidak lain bahwa bukti itu sampai pada intuisi langsung, dan intuisi
ini harus murni, dan bersifat a priori. Jika proposisi tidak mempunyai
kebenaran matematika yang tinggi, maka hal tersebut tidak dapat disimpulkan
dari hanya memperoleh kepastian empiris saja. Kant lebih jauh menyatakan bahwa
di mana-mana ruang memiliki tiga dimensi, dan pada suatu ruang berlaku dalil
bahwa tidak lebih dari tiga garis lurus dapat memotong pada sudut yang tepat di
satu titik.
---SELESAI---
